Question

【題目】如圖1所示，拋物線與軸交于點(diǎn)兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與拋物線另一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)

（1）求拋物線的解析式

（2）當(dāng)點(diǎn)在直線上方，且是以為腰的等腰三角形時(shí)，求的坐標(biāo)

（3）如圖2所示，若點(diǎn)為對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，連接，以為直角頂點(diǎn)，線段為較長(zhǎng)直角邊，構(gòu)造兩直角邊比為的，是否存在點(diǎn)，使點(diǎn)恰好落在直線上？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P 或；（3）存在，2或

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；

（2）先把C點(diǎn)代入直線CD中求出m的值，表示P(m，-m2+2m+3)、E(m，m+3)，當(dāng)△CPE是以CE為腰的等腰三角形時(shí)，然后分分兩種情況：①當(dāng)CE=CP時(shí)，②當(dāng)CE=PE時(shí)；

（3）先根據(jù)點(diǎn)P在拋物線上，G在直線y=x上設(shè)P(m，-m2+2m+3)，G(a，a)，

如圖3，作輔助線，構(gòu)建兩個(gè)相似三角形，證明△PHG∽△BNP，則，由兩直角邊比為1：2列方程組解出橫坐標(biāo)m；如圖4，同理列方程組解出m的值．

解：（1）把點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線中，

得：，

解得，

所以拋物線的解析式為；

（2）把代入，得，

所以直線的解析式為：，

設(shè)，

①當(dāng)時(shí)，作，如圖2，

，

，

．

，

，

當(dāng)時(shí)，；

②當(dāng)時(shí)， ，，

勾股定理得，

，

解得(舍去)，，

當(dāng)時(shí)，

綜上所述當(dāng)三角形是以為腰的等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；

（3）點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2或．

設(shè)P(m，-m2+2m+3)，G(a，a)，

如圖3，

過(guò)B作BN∥y軸，過(guò)P作PH∥x軸，交于N，過(guò)G作GH⊥PN，垂足為H，則∠PHG=∠BNP=90°，

∴∠NBP+∠BPN=90°，

∵∠BPG=90°，

∴∠BPN+∠NPG=90°，

∴∠NBP=∠NPG，

∴△PHG∽△BNP，

∴，

∵=2，

∴=2，

∴=2，

則，

解得：m1=-3（舍去），m2=2；

如圖4，

過(guò)P作NH∥x軸，過(guò)G作GN⊥NH，過(guò)B作BH⊥NH，垂足分別為N、H，

同理得：△PNG∽△BHP，

∴，

∴，

∴，

解得：m1=（舍去），m2=，

綜上所述，相應(yīng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2或．