Question

（1）數(shù)學課上，老師出了一道題，如圖①，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=

1

2

AB，求證：∠B=30°，請你完成證明過程．
（2）如圖②，四邊形ABCD是一張邊長為2的正方形紙片，E、F分別為AB、CD的中點，沿過點D的抓痕將紙片翻折，使點A落在EF上的點A′處，折痕交AE于點G，請運用（1）中的結(jié)論求∠ADG的度數(shù)和AG的長．
（3）若矩形紙片ABCD按如圖③所示的方式折疊，B、D兩點恰好重合于一點O（如圖④），當AB=6，求EF的長．

Answer 1

分析：（1）Rt△ABC中，根據(jù)sinB═

AC

AB

=

1

2

，即可證明∠B=30°；
（2）求出∠FA′D的度數(shù)，利用翻折變換的性質(zhì)可求出∠ADG的度數(shù)，在Rt△A'FD中求出A'F，得出A'E，在Rt△A'EG中可求出A'G，利用翻折變換的性質(zhì)可得出AG的長度．
（3）先判斷出AD=

1

2

AC，得出∠ACD=30°，∠DAC=60°，從而求出AD的長度，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得出∠DAF=∠FAO=30°，在Rt△ADF中求出DF，繼而得出FO，同理可求出EO，再由EF=EO+FO，即可得出答案．

解答：（1）證明：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=

1

2

AB，
∵sinB=

AC

AB

=

1

2

，
∴∠B=30°；

（2）解：∵正方形邊長為2，E、F為AB、CD的中點，
∴EA=FD=

1

2

×邊長=1，
∵沿過點D的抓痕將紙片翻折，使點A落在EF上的點A′處，
∴A′D=AD=2，
∴

FD

A′D

=

1

2

，
∴∠FA′D=30°，
可得∠FDA′=90°-30°=60°，
∵A沿GD折疊落在A′處，
∴∠ADG=∠A′DG，AG=A′G，
∴∠ADG=

∠ADA′

2

=

90°-60°

2

=15°，
∵A′D=2，F(xiàn)D=1，
∴A′F=

A′D2-FD2

=

3

，
∴EA′=EF-A′F=2-

3

，
∵∠EA′G+∠DA′F=180°-∠GA′D=90°，
∴∠EA′G=90°-∠DA′F=90°-30°=60°，
∴∠EGA′=90°-∠EA′G=90°-60°=30°，
則A′G=AG=2EA′=2（2-

3

）；

（3）解：∵折疊后B、D兩點恰好重合于一點O，
∴DA=AO=CO=CB，
∴DA=

AC

2

，
∵∠D=90°，
∴∠DCA=30°，
∵AB=CD=6，
在Rt△ACD中，

AD

DC

=tan30°，
則AD=DC•tan30°=6×

3

3

=2

3

，
∵∠DAF=∠FAO=

1

2

∠DAO=

90°-∠DCA

2

=30°，
∴

DF

AD

=tan30°=

3

3

，
∴DF=

3

3

AD=2，
∴DF=FO=2，
同理EO=2，
∴EF=EO+FO=4．

點評：本題考查了翻折變換的知識，涉及了含30°角的直角三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，綜合考察的知識點較多，注意將所學知識融會貫通．