(2013•許昌一模)某次數(shù)學(xué)課上,老師出示了一道題,如圖1,在邊長為4等邊三角形ABC中,點E在AB上.
AE
AB
=
1
3
.點D在CB的延長線上,且ED=EC,求CD的長.
(1)嘗試探究
在圖1中,過點E作EF∥BC,交AC于點F.先確定線段,AE與BD的大小關(guān)系是
AE=BD
AE=BD
,然后求出CD的長為
16
3
16
3

(2)類比延伸
如圖2,在原題條件下,若
AE
AB
=
1
n
(n>0),△ABC邊長為m,則CD的長為
mn+m
n
mn+m
n
(用含n,m的代數(shù)式表示)試寫出解答過程.
分析:(1)易證△AEF是等邊三角形,則可以證明△BDE≌△FEC,即可證得EF=BD,則AE=BD可以證得;
(2)與(1)的證明完全相同,證明BD=AE,則求得BD的長,進(jìn)而得到CD的長.
解答:解:(1)∵EF∥BC,△ABC是等邊三角形,
∴△AEF是等邊三角形.
∴AE=EF=AF,
∴BE=CF.
∵ED=EC,
∴∠D=∠ECB,
∵EF∥BC,
∴∠ECB=∠FEC,
∴∠FEC=∠D,
∵∠AFE=∠ABC=60°,
∴∠EBD=∠CFE,
在△BDE和△FEC中,
∠D=∠FEC
∠EBD=∠CFE
BE=CF
,
∴△BDE≌△FEC(AAS),
∴EF=BD
又∵AE=EF,
∴AE=BD.
∴BD=AE=
1
3
AB=
4
3
,
則CD=BC+BD=4+
4
3
=
16
3
;


(2)同(1)作EG∥BC,
則BD=AE=
1
n
AB=
m
n

∴CD=BC+BD=m+
m
n
=
mn+m
n

故答案是:AE=BD,
16
3
;
mn+m
n
點評:本題考查了等邊三角形的性質(zhì),以及全等三角形的判定與性質(zhì),證明BD=AE是關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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(1)本次調(diào)查中,胡老師一共調(diào)查了
20
20
名同學(xué),其中女生共有
11
11
名;
(2)將上面的條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整;
(3)為了共同進(jìn)步,胡老師想從被調(diào)查的A類和D類學(xué)生中分別選取一位同學(xué)進(jìn)行“一幫一”互助學(xué)習(xí),請用列表法或畫樹形圖的方法求出所選兩位同學(xué)恰好是一位男同學(xué)和一位女同學(xué)的概率.

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3
3

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30°
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k
x
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3
3

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