Question

如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形且AB=AC，BD是⊙O的直徑，過點A做AP∥BC交DB的延長線于點P，連接AD．
（1）求證：AP是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑是2，cos∠ABC=

3

4

，求AB的長．

Answer 1

考點：切線的判定,解直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及圓周角定理得出∠3=∠1，進而得出∠2+∠3=90°，即可得出答案；
（2）利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出cos∠ABC=cosD=

3

4

，進而得出AD的長，再利用勾股定理求出AB的長．

解答：（1）證明：連接AO，
∵AP∥BC，
∴∠3=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠C=∠D，
∵∠1=∠D，
∵BD是⊙O的直徑，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴AP是⊙O的切線；

（2）解：由（1）得：∠ABC=∠D，
∵⊙O的半徑是2，cos∠ABC=

3

4

，
∴BD=4，cos∠ABC=cosD=

3

4

，
∴

AD

BD

=

3

4

，
解得：AD=3，
∴AB=

BD2-AD2

=

16-9

=

7

．

點評：此題主要考查了勾股定理以及銳角三角函數(shù)關(guān)系和圓周角定理以及切線的判定等知識，正確轉(zhuǎn)化角度得出cos∠ABC=cosD=

3

4

是解題關(guān)鍵．