Question

已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為

2

，兩條對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，P是射線AB上任意一點(diǎn)，過P點(diǎn)分別做直線AC、BD的垂線PE、PF，垂足為E、F．
（1）如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在線段AB上時(shí)，試說明四邊形PEOF是矩形；
（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，求PE+PF的值；
（2）如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，求PE-PF的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)垂直的定義可得∠PEO=∠PFO=90°，再根據(jù)正方形的對(duì)角線互相垂直可得AC⊥BD，從而得到∠AOF=90，然后根據(jù)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形判定即可；
（2）先根據(jù)正方形的性質(zhì)求出對(duì)角線的長(zhǎng)，再根據(jù)正方形的對(duì)角線互相平分求出OB，然后根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得PE=OF，再求出∠ABO=∠BPF，根據(jù)等角對(duì)等邊可得PF=BF，然后求出PE+PE=OB，從而得解；
（3）與（2）同理求出PE=OF，PF=BF，再根據(jù)PE-PF=OF-BF=OB解答．

解答：解：（1）∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO=∠PFO=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOF=90°，
∴四邊形PEOF是矩形；

（2）在正方形ABCD中，∠BAC=90°，AB=AD=

2

，OB=OD=

1

2

BD，
∴BD=

AB2+AD2

=

( 2 )2+( 2 )2

=2，
∴BO=

1

2

BD=

1

2

×2=1，
由（1）可知，四邊形PEOF是矩形，
∴PE=OF，
∵∠ABO=45°，∠PFB=90°，
∴∠BPF=45°，
∴∠ABO=∠BPF，
∴PF=BF，
∴PE+PF=OF+BF=BO=1；

（3）同理，PE=OF，PF=BF，
∴PE-PF=OF-BF=OB=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握正方形的四條邊都相等，對(duì)角線互相垂直平分，對(duì)角線平分一組對(duì)角的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．