Question

已知：直線a∥b，P、Q是直線a上的兩點(diǎn)，M、N是直線b上兩點(diǎn)．
（1）如圖①，線段PM、QN夾在平行直線a和b之間，四邊形PMNQ為等腰梯形，其兩腰PM=QN．請(qǐng)你參照?qǐng)D①，在圖②中畫出異于圖①的一種圖形，使夾在平行直線a和b之間的兩條線段相等；
（2）我們繼續(xù)探究，發(fā)現(xiàn)用兩條平行直線a、b去截一些我們學(xué)過的圖形，會(huì)有兩條“曲線段相等”（曲線上兩點(diǎn)和它們之間的部分叫做“曲線段”．把經(jīng)過全等變換后能重合的兩條曲線段叫做“曲線段相等”）．請(qǐng)你在圖③中畫出一種圖形，使夾在平行直線a和b之間的兩條曲線段相等；
（3）如圖④，若梯形PMNQ是一塊綠化地，梯形的上底PQ=m，下底MN=n，且m＜n．現(xiàn)計(jì)劃把價(jià)格不同的兩種花草種植在S₁、S₂、S₃、S₄四塊地里，使得價(jià)格相同的花草不相鄰．為了節(jié)省費(fèi)用，園藝師應(yīng)選擇哪兩塊地種植價(jià)格較便宜的花草？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)夾在兩條平行線間的線段相等，進(jìn)行畫圖或構(gòu)造等腰三角形等均可；
（2）只要畫出一個(gè)軸對(duì)稱圖形和兩條平行線相交形成一個(gè)軸對(duì)稱圖形即可；
（3）根據(jù)題意，即是比較（S₁+S₂）和（S₃+S₄）的大小，根據(jù)平行得到相似三角形，進(jìn)一步求得相似三角形的相似比，根據(jù)三角形的面積公式和相似三角形的面積比等于相似比的平方，運(yùn)用其中一個(gè)三角形的面積表示出其它三個(gè)三角形的面積，再進(jìn)一步運(yùn)用求差法進(jìn)行比較大小．

解答：解：（1）（3分）

（2）（6分）

（3）∵△PMN和△QMN同底等高，
∴S_△PMN=S_△QMN．
∴S₃+S₂=S₄+S₂．
∴S₃=S₄．（7分）
∵△POQ∽△NOM，
∴

OQ

OM

=

PQ

MN

=

m

n

，

S1

S2

=(

OQ

OM

)2=

m2

n2

．（8分）
∴S₂=

n2

m2

•S1．
∵

S1

S3

=

OQ

OM

=

m

n

，
∴S3=

n

m

S1．（9分）
∴（S₁+S₂）-（S₃+S₄）=S₁+

n2

m2

S₁-2•

n

m

S₁=S₁（1+

n2

m2

-2•

n

m

）=S₁（1-

n

m

）²（10分）
∵m＜n，
∴（1-

n

m

）²＞0．
∴S₁+S₂＞S₃+S₄．（11分）
故園藝師應(yīng)選擇S₁和S₂兩塊地種植價(jià)格較便宜的花草，因?yàn)檫@兩塊的面積之和大于另兩塊地的面積之和．（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題中能夠根據(jù)三角形的面積公式和相似三角形的面積比是相似比的平方找到三角形中的面積關(guān)系．