Question

已知：直線y=-2x+4交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C為x軸上一點(diǎn)，AC=1，且OC＜OA．拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A、B、C．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-3，0），點(diǎn)P為線段AB上的一點(diǎn)，當(dāng)銳角∠PDO的正切值是

1

2

時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，該拋物線上的一點(diǎn)E在x軸下方，當(dāng)△ADE的面積等與四邊形APCE的面積時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（2）根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)求出OD的長，再根據(jù)∠PDO的正切值求出PD與y軸的交點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出直線PD的解析式，再與直線y=-2x+4聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)E到x軸的距離為h，根據(jù)點(diǎn)A、C、D的坐標(biāo)求出AC、AD的長，然后根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算求出h，從而得到點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，再代入拋物線解析式求出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)，即可得解．

解答：解：（1）令y=0，則-2x+4=0，
解得x=2，
令x=0，則y=4，
所以，點(diǎn)A（2，0），B（0，4），
∵AC=1，且OC＜OA，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），
∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A、B、C，
∴

4a+2b+c=0 c=4 a+b+c=0

，
解得

a=2 b=-6 c=4

，
∴該拋物線的表達(dá)式為y=2x²-6x+4；

（2）∵D的坐標(biāo)為（-3，0），
∴OD=3，
設(shè)PD與y軸的交點(diǎn)為F，
∵∠PDO的正切值是

1

2

，
∴OF=

1

2

•OD=

1

2

×3=

3

2

，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，

3

2

），
設(shè)直線PD的解析式為y=kx+b（k≠0，k、b為常數(shù)），
則

-3k+b=0 b= 3 2

，
解得

k= 1 2 b= 3 2

，
所以，直線PD的解析式為y=

1

2

x+

3

2

，
聯(lián)立

y= 1 2 x+ 3 2 y=-2x+4

，
解得

x=1 y=2

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2）；

（3）設(shè)點(diǎn)E到x軸的距離為h，
∵A（2，0），（1，0），D（-3，0），
∴AC=1，AD=2-（-3）=5，
∵△ADE的面積等于四邊形APCE的面積，
∴

1

2

×5h=

1

2

×1h+

1

2

×1×2，
解得h=

1

2

，
∵點(diǎn)E在x軸的下方，
∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為-

1

2

，
∴2x²-6x+4=-

1

2

，
整理得，4x²-12x+9=0，
解得x=

3

2

，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（

3

2

，-

1

2

）．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，聯(lián)立兩直線解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)的方法，三角形的面積，綜合題，但難度不大，作出圖形更形象直觀．