Question

10．如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、E重合），在AE同側(cè)分別作等邊△ABC和等邊△CDE，AD與BE交于O，AD與BC交于P，BE與CD交于Q，連接PQ，以下六個(gè)結(jié)論：①AD=BE，②PQ∥AE，③AP=BQ，④PD=QE，⑤∠AOB=60°，⑥△PQC是等邊三角形；成立的結(jié)論有（　　）

• A． 3個(gè)
• B． 4個(gè)
• C． 5個(gè)
• D． 6個(gè)

Answer 1

分析 根據(jù)等邊三角形的三邊都相等，三個(gè)角都是60°，可以證明△ACD與△BCE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AD=BE，所以①正確，對(duì)應(yīng)角相等可得∠CAD=∠CBE，然后證明△ACP與△BCQ全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得PC=PQ，從而得到△CPQ是等邊三角形，所以⑥正確；再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以找出相等的角，從而證明PQ∥AE，所以②正確；根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可以推出AP=BQ，所以③正確，同理④正確；根據(jù)三角形外角性質(zhì)和全等即可推出⑤正確．

解答 解：∵等邊△ABC和等邊△CDE，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴180°-∠ECD=180°-∠ACB，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD與△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，故①小題正確；
∵△ACD≌△BCE（已證），
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠ACB=∠ECD=60°（已證），
∴∠BCQ=180°-60°×2=60°，
∴∠ACB=∠BCQ=60°，
在△ACP與△BCQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠CBE}\\{AC=BC}\\{∠ACB=∠BCQ=60°}\end{array}\right.$
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴AP=BQ，故③小題正確；
同理PD=QE，故④小題正確；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠DAC+∠ADC=∠DCE，
∵△DCE是等邊三角形，
∴∠DCE=60°，
∴∠AOB=60°，故⑤小題正確；
∵△ACP≌△BCQ
∴PC=QC，
∴△PCQ是等邊三角形，故⑥正確．
∴∠CPQ=60°，
∴∠ACB=∠CPQ，
∴PQ∥AE，故②小題正確；
即正確的個(gè)數(shù)是6個(gè)，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及平行線的判定的應(yīng)用，需要多次證明三角形全等，仔細(xì)分析圖形是解題的關(guān)鍵．