Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的弦，半徑OA=2cm，∠AOB=120°

（1）求tan∠OAB的值；
（2）求圖中陰影部分的面積S；
（3）在⊙O上一點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一周，回到點(diǎn)A，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，滿足S△POA=S△AOB時(shí)，直接寫(xiě)出P點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)（不考慮點(diǎn)P與點(diǎn)B重合的情形）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA，

∵∠OAB= （180°﹣120°）=30°，

∴tan∠OAB=tan30°= ；

（2）解：作OC⊥AB于C，如圖，則AC=BC，

在Rt△OAC中，OC= OA=1，AC= OC= ，

∴AB=2AC=2 ，

∴S弓形AB=S扇形AOB﹣S△AOB= ﹣ 2 1=（ π﹣ ）cm2；

（3）解：延長(zhǎng)BO交⊙O于P，

∵OP=OB，

∴此時(shí)S△AOP=S△AOB，

∵∠AOP=∠OAB+∠OBA=60°，

∴此時(shí)P點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)= = π（cm）；

當(dāng)點(diǎn)P在 上，且∠AOP=60°時(shí)，時(shí)S△AOP=S△AOB，

此時(shí)P點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)=2π2﹣ π= π（cm）；

當(dāng)∠AOP=120時(shí)，S△AOP=S△AOB，

∴此時(shí)P點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)= = π（cm）；

綜上所述，P點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為 πcm或 πcm或 πcm．

【解析】（1）求角的三角函數(shù)須把此角放在直角三角形中，要過(guò)O點(diǎn)作垂線；（2）陰影部分面積可轉(zhuǎn)化為S弓形AB=S扇形AOB﹣S△AOB；（3）先考慮P在優(yōu)弧APB上或在劣弧AB上，算出圓心角，由弧長(zhǎng)公式算出長(zhǎng)度.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解圓周角定理的相關(guān)知識(shí)，掌握頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半，以及對(duì)弧長(zhǎng)計(jì)算公式的理解，了解若設(shè)⊙O半徑為R，n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為l，則l=nπr/180;注意：在應(yīng)用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)，要注意公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數(shù)，它是不帶單位的．