Question

如圖，A、B兩地相距28個單位長度．AO=8個單位長度，PO=4個單位長度，∠POB=60°，現在點P開始繞著點O以60度/秒的速度逆時針旋轉一周停止，同時點Q自點B沿BA向點A運動，設點P、Q運動的時間為t（秒）．
①當t=

 

時，∠AOP=90°；
②假若點P、Q兩點能相遇，求點Q運動的速度．
③如果點P繞著點O以a度/秒的速度逆時針旋轉一周停止，同時點Q沿直線BA自點B以bcm/秒的速度向點A運動，當點Q到達點A時，∠POQ恰好等于90°，求a：b的值．

Answer 1

考點：一元一次方程的應用

專題：幾何動點問題

分析：①根據時間=∠AOP的度數÷點P繞著點O逆時針旋轉的速度，列式計算即可求解；
②由于點P，Q只能在直線AB上相遇，而點P旋轉到直線AB上的時間分兩種情況，所以根據題意列出方程分別求解；
③分兩種情況：Ⅰ）當P點再旋轉90°-60°=30°時；Ⅱ）當P點再旋轉180°-60°+90°=210°時；分別表示出P、Q兩點的運動時間，聯立方程求得答案即可．

解答：解：①當∠AOP=90°時，t=

90-60

60

=0.5s或t=

180-60+90

60

=3.5s．
故答案為0.5秒或3.5秒；

②點P，Q只能在直線AB上相遇，則點P旋轉到直線AB上的時間為

120

60

=2s或

120+180

60

=5s．
設點Q的速度為y個單位長度/s，
當2秒時相遇，依題意得，2y=28-4，解得y=12；
當5秒時相遇，依題意得，5y=28-12，解得y=3.2．
答：點Q的速度為12個單位長度/s或3.2個單位長度/s．

③由題意得：
Ⅰ）當P點再旋轉90°-60°=30°時，

30

a

=

28

b

，
則a：b=15：14；
Ⅱ）當P點再旋轉180°-60°+90°=210°時，

210

a

=

28

b

，
則a：b=15：2．
綜上所知a：b=15：14或15：2．

點評：此題考查的知識點是一元一次方程的應用，速度、路程、時間的關系．解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系列出方程，再求解．