【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(a,0)(a>0),點(diǎn)C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)C在y軸上移動(dòng)時(shí),始終保持△ACP是等邊三角形,當(dāng)點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)O時(shí),得到等邊△AOB(此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合).
(1)點(diǎn)C在移動(dòng)的過程中,當(dāng)?shù)冗吶切?/span>ACP的頂點(diǎn)P在第三象限時(shí)(如圖所示),求證:△AOC≌△ABP;
(2)若點(diǎn)P在第三象限,BP交x軸于點(diǎn)E,且∠ACO=20°,求∠PAE的度數(shù)和E點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)若∠APB=30°,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為 .
【答案】(1)見解析;(2)∠PAE=∠OAC﹣∠CAP=10°,E(﹣a,0);(3)﹣a或2a.
【解析】
(1) 先判斷出∠OAC=∠BAP, 進(jìn)而得出結(jié)論;
(2) 利用直角三角形的性質(zhì)得出∠OAC, 進(jìn)而得出∠PAE, 再利用全等三角形的性質(zhì)得出∠APB,利用三角形的外角得出∠AEB=30, 即可得出結(jié)論;
(3) 分點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸和正半軸上,判斷出點(diǎn)P在x軸上, 即可得出結(jié)論.
(1)證明:∵△AOB和△ACP都是等邊三角形,
∴OA=AB,AP=AC,∠OAB=∠CAP=60°
∴∠OAC=∠BAP,
在△AOC和△ABP中,,
∴△AOC≌△ABP(SAS),
(2)解:∵∠ACO=20°,
∴∠OAC=90°﹣20°=70°,
∵∠CAP=60°,
∴∠PAE=∠OAC﹣∠CAP=10°;
由(1)知,△AOC≌△ABP,
∴∠ABP=∠AOC=90°,∠ACO=∠APB=20°,
∴∠AEB=∠APB+∠PAE=20°+10°=30°,
∵A(a,0),
∴OA=a,
∴AB=OA=a,
在Rt△ABE中,AE=2AB=2a,
∴OE=AE﹣OA=a,
∴E(﹣a,0);
(3)
當(dāng)點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸上時(shí),當(dāng)∠APB=30°時(shí),
由(1)知,△AOC≌△ABP,
∴∠ABP=∠AOC=90°,
∵∠OAB=60°,
∴∠AEB=30°=∠APB,
∴點(diǎn)P和點(diǎn)E重合,
即:點(diǎn)P在x軸上,
在Rt△ABE中,AB=a,
∴AP=2AB=2a,
∴OP=AP﹣OA=a,
∴P(﹣a,0);
當(dāng)點(diǎn)C在y軸正半軸時(shí),
如圖(注:為了說明點(diǎn)P也在x軸上,作的圖形,不標(biāo)準(zhǔn))
∵∠AOB=60°,
∴∠APB=∠AOB,
∴點(diǎn)P在以點(diǎn)O為圓心,OA為半徑的圓上,
∴OP=OA,
在△AOC和△POC中,,
∴△AOC≌△POC,
∴∠ACO=∠PCO,
∵∠ACP=60°,
∴∠ACO=∠PCO,
∴OC⊥AP,
∵OC⊥OA,∴點(diǎn)P在x軸上,
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣a,
當(dāng)點(diǎn)C在y軸半軸上時(shí),∠APB=30°,如圖1,(注:為了說明點(diǎn)B和F重合,作的圖形,不標(biāo)準(zhǔn))
由(1)知,△AOC≌△ABP(SAS),
∴∠ABP=∠OAC=90°,
∵在等邊三角形ACP中,∠CAP=60°,
∵∠APB=30°,
∴∠AFP=90°,
∴點(diǎn)B和F重合,
∴AB=AC=AP,
∵OA=AB,
∴OA=AP,
過點(diǎn)P作PH⊥OA于H,
∴∠PAH=60°,
∴AH=AP,
∴AH=OA,
∴AH=2OA,
∵A(a,0),
∴OA=a,
∴AH=2a,
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2a,
故答案為:﹣a或2a.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,O為直線AB上一點(diǎn),∠AOC=50°,OD平分∠AOC,∠DOE=90°.
(1)請(qǐng)你數(shù)一數(shù),圖中有多少個(gè)小于平角的角;
(2)求出∠BOD的度數(shù);
(3)請(qǐng)通過計(jì)算說明OE是否平分∠BOC.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=3cm,BC=6cm.點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A即停止;同時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C即停止,點(diǎn)P、Q的速度都是1cm/s.連接PQ、AQ、CP.設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts.
當(dāng)t為何值時(shí),四邊形ABQP是矩形;
當(dāng)t為何值時(shí),四邊形AQCP是菱形;
分別求出(2)中菱形AQCP的周長(zhǎng)和面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,直線AB交CD于點(diǎn)O,OE平分∠BOD,OF平分∠COB,∠AOD∶∠BOE=4∶1,則∠AOF等于( )
A. 130°
B. 120°
C. 110°
D. 100°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】用邊長(zhǎng)相等的下列兩種正多邊形,不能進(jìn)行平面鑲嵌的是( 。
A. 等邊三角形和正六邊形 B. 正方形和正八邊形
C. 正五邊形和正十邊形 D. 正六邊形和正十二邊形
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:∠MON=80°,OE平分∠MON,點(diǎn)A、B、C分別是射線OM、OE、ON上的動(dòng)點(diǎn)(A、B、C不與點(diǎn)O 重合),連接AC交射線OE于點(diǎn)D.設(shè)∠OAC=x°.
(1)如圖1,若AB∥ON,則:①∠ABO的度數(shù)是 ;
②如圖2,當(dāng)∠BAD=∠ABD時(shí),試求x的值(要說明理由);
(2)如圖3,若AB⊥OM,則是否存在這樣的X的值,使得△ADB中有兩個(gè)相等的角?若存在,直接寫出x的值;若不存在,說明理由.(自己畫圖)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在□ABCD中,O是AC、BD的交點(diǎn),過點(diǎn)O 與AC垂直的直線交邊AD于點(diǎn)E,若□ABCD的周長(zhǎng)為22cm,則△CDE的周長(zhǎng)為( ).
A. 8cm B. 10cm C. 11cm D. 12cm
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線.
(1)如圖1,直接寫出的數(shù)量關(guān)系為 ;
(2)如圖2,與的角平分線所在的直線相交于點(diǎn),試探究與之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分別為D、E,AD、CE交于點(diǎn)H,請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件:_____,使△AEH≌△CEB.
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