Question

如圖，AB、BC、CD分別與⊙O切于E、F、G，且AB∥CD，連接OB、OC，延長(zhǎng)CO交⊙O于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN∥OB交CD于N，OB=6cm，OC=8cm．
（1）求∠BOC的度數(shù)及⊙O的半徑．
（2）請(qǐng)證明MN是⊙O的切線(xiàn)，并求MN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得∠GCF+∠EBF=180°，則有∠OBF+∠OCF=90°，即∠BOC=90°，然后利用勾股定理計(jì)算出BC，再利用等積法計(jì)算出OF；
（2）由MN∥OB，而OB⊥OC，得到MN⊥OM，根據(jù)切線(xiàn)的判定即可得到MN為⊙O的切線(xiàn)；易證Rt△CMN和Rt△COB相似，利用相似比即可計(jì)算出MN的長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵AB、BC、CD分別與⊙O切于E、F、G，
∴OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，
又∵AB∥CD，
∴∠GCF+∠EBF=180°，
∴∠OBF+∠OCF=90°，
∴∠BOC=90°，
在Rt△BOC中，OB=6，OC=8，
∴BC=

OB2+OC2

=

62+82

=10，
又∵

1

2

OF•BC=

1

2

OB•OC，
∴OF=

OB•OC

BC

=

6×8

10

=4.8（cm）；

（2）證明：如圖，
∵M(jìn)N∥OB，OB⊥OC，
∴MN⊥OM，
∴MN為⊙O的切線(xiàn)，
又∵∠MCN=∠OCB，
∴Rt△CMN∽R(shí)t△COB相似，
∴CM：OC=MN：OB，即（4.8+8）：8=MN：6，
∴MN=9.6（cm）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線(xiàn)的判定與性質(zhì)定理：過(guò)半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線(xiàn)為圓的切線(xiàn)；圓的切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；過(guò)圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，切線(xiàn)長(zhǎng)相等，圓心與這點(diǎn)的連線(xiàn)平分兩切線(xiàn)的夾角．也考查了勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)．