【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,P為BA延長線上一點,過P作⊙O的切線,切點為C,CD平分∠ACB交⊙O于D,交AB于G.
(1)求證:△PAC∽△PCB;
(2)已知⊙O的半徑為5,PC=2,過C作CH⊥AB于H.
①求tan∠ADC;
②求GH的長.
【答案】(1)詳見解析;(2)①;②GH=2﹣.
【解析】
(1)如圖,連接OC,先證∠B=∠ACP,又因為∠CPA=∠BPC,即可得出結(jié)論;
(2)①由(1)知△PAC∽△PCB,利用相似三角形的性質(zhì)可求出AP的長,可求出∠B的正切值,即可寫出∠ADC的正切值;
②如圖,連接OD,證OD∥CH,所以△DOG∽△CHG,在Rt△ABC中,設(shè)AC=x,則BC=x,由勾股定理可求出x的值,即得AC,BC的長,由面積法求出CH的長,由銳角三角函數(shù)求出BH的長,進(jìn)一步求出OH的長,利用相似三角形的性質(zhì)即可求出GH的長.
(1)證明:如圖,連接OC,
∵PC是⊙O的切線,
∴∠OCP=90°,
∴∠OCA+∠ACP=90°,
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°,
∴∠B+∠CAO=90°,
∵OC=OA,
∴∠OCA=∠OAC,
∴∠B=∠ACP,
又∵∠CPA=∠BPC,
∴△PAC∽△PCB;
(2)①由(1)知△PAC∽△PCB,
∴==,
∵PC=2,AB=5×2=10,
∴=,
∴AP=2(取正值),
∴==,
∵∠ADC=∠B,
∴tan∠ADC=tan∠B==;
②如圖,連接OD,
∵CD平分∠ACB,
∴∠BCD=∠ACD=ACB=45°,
∴∠BOD=∠DOA=90°,
∵CH⊥AB,
∴∠CHG=90°=∠DOA,
∴OD∥CH,
∴△DOG∽△CHG,
在Rt△ABC中,設(shè)AC=x,則BC=x,
∴x2+(x)2=102,
∴x=(取正值),
∴AC=,BC=,
∵S△ABC=BCAC=ABCH,
∴×=10CH,
∴CH=,
∵tan∠B=,
∴==,
∴BH=,
∴OH=BH﹣BO=﹣5=,
∵△DOG∽△CHG,
∴=,
即=,
∴GH=2﹣.
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【題目】如圖,ABCO的頂點B、C在第二象限,點A(﹣3,0),反比例函數(shù)y=(k<0)圖象經(jīng)過點C和AB邊的中點D,若∠B=α,則k的值為( )
A. ﹣4tanαB. ﹣2sinαC. ﹣4cosαD. ﹣2tan
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2,Q為AC上的動點,P為Rt△ABC內(nèi)一動點,且滿足∠APB=120°,若D為BC的中點,則PQ+DQ的最小值是( 。
A. B. C. 4D.
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【題目】定義:經(jīng)過三角形一邊中點,且平分三角形周長的直線叫做這個三角形在該邊上的中分線,其中落在三角形內(nèi)部的部分叫做中分線段.
(1)如圖,△ABC中,AC>AB,DE是△ABC在BC邊上的中分線段,F為AC中點,過點B作DE的垂線交AC于點G,垂足為H,設(shè)AC=b,AB=c.
①求證:DF=EF;
②若b=6,c=4,求CG的長度;
(2)若題(1)中,S△BDH=S△EGH,求的值.
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【題目】觀察下列等式:
第1個等式:,
第2個等式:,
第3個等式:,
第4個等式:…
(1)按上述規(guī)律填空,第5個等式:a5= = .
(2)用含n的代數(shù)式表示第n個等式:an= = (n為正整數(shù)).
(3)求a1+a2+a3+…+a50的值.
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(2,-5),頂點坐標(biāo)為(-1,4),直線l的解析式為y=2x+m.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若拋物線與直線l有兩個公共點,求的取值范圍;
(3)若直線l與拋物線只有一個公共點P,求點P的坐標(biāo);
(4)設(shè)拋物線與軸的交點分別為A、B,求在(3)的條件下△PAB的面積.
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【題目】如圖,直線y=x+8與x軸交于A點,與y軸交于點B,動點P從A點出發(fā),以每秒2個單位速度沿射線AO勻速運動,同時動點Q從B點出發(fā),以每秒1個單位的速度沿射線BA方向向點A勻速運動,當(dāng)一個點停止運動,另一個點也隨之停止運動,連接PQ,設(shè)運動的時間為t(秒).
(1)用t的代數(shù)式表示AP= ,AQ=
(2)當(dāng)t為何值時,PQ∥OB?
(3)若點C為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點,是否存在t值,使得以A、P、Q、C為頂點的四邊形為菱形?若存在,求出Q點坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
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【題目】已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A(﹣2,0),B(0、﹣4)與x軸交于另一點C,連接BC.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖,P是第一象限內(nèi)拋物線上一點,且S△PBO=S△PBC,求證:AP∥BC;
(3)在拋物線上是否存在點D,直線BD交x軸于點E,使△ABE與以A,B,C,E中的三點為頂點的三角形相似(不重合)?若存在,請求出點D的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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