Question

如圖，以矩形OABC的頂點O為原點，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系．已知OA＝3，OC＝2，點E是AB的中點，在OA上取一點D，將△BDA沿BD翻折，使點A落在BC邊上的點F處．

（1）直接寫出點E、F的坐標；

（2）設(shè)頂點為F的拋物線交y軸正半軸于點P，且以點E、F、P為          頂點的三角形是等腰三角形，求該拋物線的解析式；

（3）在x軸、y軸上是否分別存在點M、N，使得四邊形MNFE的周 長最小？如果存在，求出周長的最小值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

  解：（1）；．………………………………………2分

（2）在中，，

．

設(shè)點的坐標為，其中，

∵頂點，

∴設(shè)拋物線解析式為．

①如圖①，當時，，

．

解得（舍去）；．

．

．

解得．

拋物線的解析式為 …………………………………………………2分

②如圖②，當時，，

．

解得（舍去）．…………………………………………………………………………………………2分

③當時，，這種情況不存在．…………………………………1分

綜上所述，符合條件的拋物線解析式是．

（3）存在點，使得四邊形的周長最�。�

如圖③，作點關(guān)于軸的對稱點，作點關(guān)于軸的對稱點，連接，分別與軸、軸交于點，則點就是所求點．……………………………………1分

，．

．

．

又，

 ，此時四邊形的周長最小值是．……………………………………………………………………………………2分