Question

如圖，Rt△AOC中，∠ACO=90°，∠AOC=30°．將Rt△AOC繞OC中點E按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°后得到Rt△BCO，BO、CO恰好分別在y軸、x軸上．再將Rt△BCO沿y軸對折得到Rt△BDO．取BC中點F，連接DF，交AB于點G，將△BDG沿DF對折得到△KDG．直線DK交AB于點H．
（1）填空：CE：ED=

1：3

，AB：AC=

7

：1

；
（2）若BH=

10 21

7

，求直線BD解析式；
（3）在（2）的條件下，一拋物線過點D、點E、點B，此拋物線位于直線BD上方有一動點Q，△BDQ的面積有無最大值？若有，請求出點Q的坐標(biāo)；若無，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)E是OC的中點，OD=OC即可求得CE：ED的值；在直角△AOC中，設(shè)AC=a，則OA=2a，OC=

3

a，作AM⊥y軸，則在直角△ABM中，利用三角函數(shù)即可利用a表示得到AB的長，從而求得AB：AC的值；
（2）易證△BDF∽△GBF∽△GDH，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，即可求得OD，OB的長度，即B、D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；
（3）首先利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，△BDQ的面積S可以表示成x的函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得最值．

解答：解：（1）在直角△AOC中，設(shè)AC=a，則OA=2a，OC=

3

a，
∵E是OC的中點，
∴OE=CE=

1

2

OC，
又∵OD=OC
∴ED=3OE，
則CE：ED=3：1；
作AM⊥y軸，則AM=OC=

3

a，OM=AC=a，
∴BM=OB+OM=2a，
在直角△ABM中，AB=

AM2+BM2

=

( 3 a)2+(2a)2

=

7

a，
則AB：AC=

7

：1；

（2）連接EF，
∵F是BC的中點，E是OC的中點，
∴EF=

1

2

OB=

1

2

AC=

1

2

a，ED=

3

2

a，∠FEO=90°
在直角△EFD中，DF=

EF2+DE2

=

7

a，
∴DF=AB，
又∵AC=BF，BC=BD
∴△ABC≌△FDB，
∴∠ABC=∠FDB，
又∵∠FBD=∠GFB
∴△BDF∽△GBF
∵∠GDH=∠FDB=∠CBA，
∠FGB=∠HGD
∴△GBF∽△GDH
設(shè)OB=2x，則BH=

10 7

7

x
∴x=

3

∴BO=2

3

，DO=6，
∴y=-

3

3

x+2

3

   

（3）OE=

1

2

DO=3，則E的坐標(biāo)是（-3，0），D的坐標(biāo)是（6，0），B的坐標(biāo)是（0，2

3

），
設(shè)拋物線的解析式是：y=ax²+bx+c，
則

9a-3b+c=0 36a+6b+c=0 c=2 3

，
解得：

a=- 3 9 b= 3 3 c=2 3

則拋物線解析式：y=-

3

9

x²+

3

3

x+2

3

設(shè)△BDQ的面積為S，則S=-

3

9

x²+

2 3

3

x 
當(dāng)x=3時，S取最大值，Q（3，2

3

）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，是一個綜合性較強的題目．