Question

如圖，Rt△AOC中，∠ACO=90°，∠AOC=30°．將Rt△AOC繞OC中點(diǎn)E按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°后得到Rt△BCO，BO、CO恰好分別在y軸、x軸上．再將Rt△BCO沿y軸對折得到Rt△BDO．取BC中點(diǎn)F，連接DF，交AB于點(diǎn)G，將△BDG沿DF對折得到△KDG．直線DK交AB于點(diǎn)H．
（1）填空：CE：ED=______，AB：AC=______；
（2）若BH=，求直線BD解析式；
（3）在（2）的條件下，一拋物線過點(diǎn)D、點(diǎn)E、點(diǎn)B，此拋物線位于直線BD上方有一動點(diǎn)Q，△BDQ的面積有無最大值？若有，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若無，請說明理由．

Answer 1

解：（1）在直角△AOC中，設(shè)AC=a，則OA=2a，OC=a，
∵E是OC的中點(diǎn)，
∴OE=CE=OC，
又∵OD=OC
∴ED=3OE，
則CE：ED=3：1；
作AM⊥y軸，則AM=OC=a，OM=AC=a，
∴BM=OB+OM=2a，
在直角△ABM中，AB===a，
則AB：AC=：1；

（2）連接EF，
∵F是BC的中點(diǎn)，E是OC的中點(diǎn)，
∴EF=OB=AC=a，ED=a，∠FEO=90°
在直角△EFD中，DF==a，
∴DF=AB，
又∵AC=BF，BC=BD
∴△ABC≌△FDB，
∴∠ABC=∠FDB，
又∵∠FBD=∠GFB
∴△BDF∽△GBF
∵∠GDH=∠FDB=∠CBA，
∠FGB=∠HGD
∴△GBF∽△GDH
設(shè)OB=2x，則BH=x
∴x=
∴BO=2，DO=6，
∴y=-x+2

（3）OE=DO=3，則E的坐標(biāo)是（-3，0），D的坐標(biāo)是（6，0），B的坐標(biāo)是（0，2），
設(shè)拋物線的解析式是：y=ax²+bx+c，
則，
解得：
則拋物線解析式：y=-x²+x+2
設(shè)△BDQ的面積為S，則S=-x²+x
當(dāng)x=3時，S取最大值，Q（3，2）．
分析：（1）根據(jù)E是OC的中點(diǎn)，OD=OC即可求得CE：ED的值；在直角△AOC中，設(shè)AC=a，則OA=2a，OC=a，作AM⊥y軸，則在直角△ABM中，利用三角函數(shù)即可利用a表示得到AB的長，從而求得AB：AC的值；
（2）易證△BDF∽△GBF∽△GDH，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，即可求得OD，OB的長度，即B、D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；
（3）首先利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，△BDQ的面積S可以表示成x的函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得最值．
點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，是一個綜合性較強(qiáng)的題目．