【題目】已知:點(diǎn)C、A、D在同一條直線(xiàn)上,∠ABC=∠ADE=α,線(xiàn)段 BD、CE交于點(diǎn)M.
(1)如圖1,若AB=AC,AD=AE
①問(wèn)線(xiàn)段BD與CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說(shuō)明理由;②求∠BMC的大。ㄓα表示);
(2)如圖2,若AB= BC=kAC,AD =ED=kAE 則線(xiàn)段BD與CE的數(shù)量關(guān)系為 ,∠BMC= (用α表示);
(3)在(2)的條件下,把△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°,在備用圖中作出旋轉(zhuǎn)后的圖形(要求:尺規(guī)作圖,不寫(xiě)作法,保留作圖痕跡),連接 EC并延長(zhǎng)交BD于點(diǎn)M.則∠BMC= (用α表示).
【答案】(1)①BD=CE,理由見(jiàn)解析,②180°-2α′;(2)BD=kCE,;(3)畫(huà)圖見(jiàn)解析,∠BMC=
【解析】分析:(1)①先根據(jù)等腰三角形等角對(duì)等邊的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理得出∠DAE=∠BAC,則∠BAD=∠CAE,再根據(jù)SAS證明△ABD≌△ACE,從而得出BD=CE;②先由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得出∠BDA=∠CEA,再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得出∠BMC=∠DAE=180°-2α;(2)先根據(jù)等腰三角形等角對(duì)等邊的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理得出∠DAE=∠BAC=90°-α,則∠BAD=∠CAE,再由AB=kAC,AD=kAE,得出AB:AC=AD:AE=k,則根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例,且?jiàn)A角相等的兩三角形相似證出△ABD∽△ACE,得出BD=kCE,∠BDA=∠CEA,然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得出∠BMC=∠DAE=90°-α;(3)先在備用圖中利用SSS作出旋轉(zhuǎn)后的圖形,再根據(jù)等腰三角形等角對(duì)等邊的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理得出∠DAE=∠BAC=90°-α,由AB=kAC,AD=kAE,得出AB:AC=AD:AE=k,從而證出△ABD∽△ACE,得出∠BDA=∠CEA,然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得出∠BMC=90°+α.
本題解析:(1)①BD=CE,∵AD=AE,∴∠AED=∠ADE=α
∴∠DAE=180°-2∠ADE=180°-2α,同理可得:∠BAC=180°-2α
∴∠DAE =∠BAC∴∠DAE+∠BAE =∠BAC+∠BAE
即:∠BAD =∠CAE
在△ABD與△ACE中
,
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴BD=CE
② ∵△ABD≌△ACE
∴∠BDA =∠CEA
∵∠BMC=∠MCD+∠MDC
∴∠BMC=∠MCD+∠CEA
=∠EAD=180°-2α′
(2)如圖2.
∵AD=ED,∠ADE=α,
∴∠DAE= ,
同理可得:∠BAC=90°12α,
∴∠DAE=∠BAC,
∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE,
即:∠BAD=∠CAE.
∵AB=kAC,AD=kAE,
∴AB:AC=AD:AE=k.
在△ABD與△ACE中,
∵AB:AC=AD:AE=k,∠BDA=∠CEA,
∴△ABD∽△ACE,
∴BD:CE=AB:AC=AD:AE=k,∠BDA=∠CEA,
∴BD=kCE;
∵∠BMC=∠MCD+∠MDC,
∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE=90°α.
(3)畫(huà)圖:∠BMC=
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠DAC是△ABC的一個(gè)外角.
實(shí)驗(yàn)與操作:
根據(jù)要求進(jìn)行尺規(guī)作圖,并在圖中標(biāo)明相應(yīng)字母(保留作圖痕跡,不寫(xiě)作法)
(1)作∠DAC的平分線(xiàn)AM;
(2)作線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn),與AM交于點(diǎn)F,與BC邊交于點(diǎn)E,連接AE,CF.
猜想并證明:
判斷四邊形AECF的形狀并加以證明.
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【題目】將拋物線(xiàn)y=﹣x2向右平移1個(gè)單位,再向上平移2個(gè)單位后,得到的拋物線(xiàn)的解析式為______.
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【題目】(1) 若方程4x-1=3x+1和2m+x=1的解相同.求m的值.
(2)在公式S= (a+b)h中,已知S=120,b=18,h=8.求a的值.
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【題目】拋物線(xiàn)y=(x+4)2﹣3可以由拋物線(xiàn)y=x2平移得到,則下列平移過(guò)程正確的是( )
A.先向左平移4個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位
B.先向左平移4個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位
C.先向右平移4個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位
D.先向右平移4個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位
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【題目】如圖,正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1,每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).
(1)在圖1中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)一個(gè)面積為10的正方形;
(2)在圖2中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)一個(gè)三角形,使三角形三邊長(zhǎng)分別為2、 , ;
(3)如圖3,點(diǎn)A、B、C是小正方形的頂點(diǎn),求∠ABC的度數(shù).
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【題目】下列說(shuō)法中,正確的是( 。
A. 兩邊及其中一邊的對(duì)角分別相等的兩個(gè)三角形全等
B. 兩邊及其中一邊上的高分別相等的兩個(gè)三角形全等
C. 有一直角邊和一銳角分別相等的兩個(gè)直角三角形全等
D. 面積相等的兩個(gè)三角形全等
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