Question

如圖，△ABC的兩個(gè)外角（∠CAD、∠ACE）的平分線相交于點(diǎn)P．求證：∠P=90°-

1

2

∠B．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：證明題

分析：根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和與角平分線的定義表示出∠PAC和∠PCA，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解．

解答：解：由三角形的外角性質(zhì)，∠DAC=∠B+∠ACB，∠ACE=∠B+∠BAC，
∵PA、PC分別是∠DAC和∠ACE的角平分線，
∴∠PAC=

1

2

∠DAC=

1

2

（∠B+∠ACB），
∠PCA=

1

2

∠ACE=

1

2

（∠B+∠BAC），
在△ACP中，∠P+∠PAC+∠PCA=180°，
∴∠P+

1

2

（∠B+∠ACB）+

1

2

（∠B+∠BAC）=180°，
∴2∠P+∠B+∠ACB+∠B+∠BAC=360°，
在△ABC中，∠ACB+∠B+∠BAC=180°，
∴2∠P+∠B=180°，
∴∠P=90°-

1

2

∠B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)與定理并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵，整體思想的利用也很關(guān)鍵．