Question

如圖，矩形ABCD的邊AB=6cm，BC=8cm，在BC上取一點(diǎn)P，在CD邊上取一點(diǎn)Q，使∠APQ成直角，設(shè)BP=x cm，CQ=y cm，試以x為自變量，寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式．并求x為何值時(shí)，y有最大值或最小值？

Answer 1

分析：根據(jù)相似三角形的判定定理AA推知△ABP∽△PCQ，然后利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例知

AB

PC

=

BP

CQ

，即

6

8-x

=

x

y

，由此可以求得y與x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-

1

6

（x-4）²+

8

3

，根據(jù)此函數(shù)式來求y的最值．

解答：解：∵∠APQ=90°，
∴∠APB+∠QPC=90°；
又∵∠APB+∠BAP=90°，
∴∠QPC=∠BAP，∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△PCQ，
∴

AB

PC

=

BP

CQ

，即

6

8-x

=

x

y

，
∴y=-

1

6

x²+

4

3

x，即y=-

1

6

（x-4）²+

8

3

，
∴當(dāng)x=4時(shí)，y有最大值

8

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的最值．求二次函數(shù)的最大（小）值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法．此題選擇了配方法．