Question

17．如圖，在△ABC中，以AC、BC分別向外作等邊△ACF和等邊△BCE，點P、M、N分別為AB、CF、CE的中點．
①求證：PM=PN；
②求證：∠MPN=60°．

Answer 1

分析 ①取AC中點G，BC中點H，連接MG、PG、PH、HN，只要證明△MGP≌△PHN即可．
②連接MN，只要證明△MCN≌△MGP即可．

解答 證明：①取AC中點G，BC中點H，連接MG、PG、PH、HN．
∵△ACF、△BCE都是等邊三角形，
∴AC=AF=CF，∠CAF=∠ACF=60°，BC=CE=BE，∠CBE=∠BCE=60°，
∵CM=MF，CG=AG，
∴GM∥AF，GM=$\frac{1}{2}$AF，同理PH=$\frac{1}{2}$AC，PH∥AC，PG=$\frac{1}{2}$BC，PG∥AC，HN=$\frac{1}{2}$BE，HN∥BE，
∴GM=PH，PG=HN，
∴∠CGM=∠CAF=60°，∠CHN=∠CBE=60°，四邊形CHPG是平行四邊形，
∴∠CGP=∠CHP，∠CGM=∠CHN，
∴∠MGP=∠PHN，
在△MGP和△PHN中，
$\left\{\begin{array}{l}{MG=PH}\\{∠MGP=∠PHN}\\{PG=HN}\end{array}\right.$，
∴△MGP≌△PHN，
∴PM=PN．
②連接MN．
∵∠MCN=360°-∠ACF-∠BCE-∠ACB=360°-60°-60°-（180°-∠CGP）=60°+∠CGP=∠MGP，
在△MCN和△MGP中，
$\left\{\begin{array}{l}{CM=MG}\\{∠MGP=∠PHN}\\{PG=HN}\end{array}\right.$，
∴△MGP≌△PHN，
∴MN=PM=PN，
∴△PMN是等邊三角形，
∴∠MPN=60°．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、三角形中位線性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，熟練掌握三角形中位線性質(zhì)也是解題關(guān)鍵，屬于中考�？碱}型．