Question

1．已知△ACB、△ADE為等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，連CD、BE，M、N分別為BE、CD的中點(diǎn)．
（1）如圖1，若點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，請(qǐng)作出點(diǎn)E關(guān)于N點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)F并直接寫出線段MN與BD的數(shù)量關(guān)系MN=$\frac{1}{2}$BD、位置關(guān)系NM⊥BD；
（2）如圖2，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，求$\frac{MN}{BD}$的值；
（3）如圖3，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，如果線段BC的中點(diǎn)為P，BC=2$\sqrt{5}$，CE=3$\sqrt{2}$，當(dāng)PD∥CE時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段PD的長(zhǎng)2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，由此EN交BC于F，點(diǎn)F就是所求的點(diǎn)，只要證明△NCF≌△NDE，即可解決問題．
（2）如圖2中，將△DBA繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCH，則HC=AD=DE，△BDH是等腰直角三角形，DH=$\sqrt{2}$BD，只要證明四邊形CHDE是平行四邊形，即可解決問題．
（3）如圖3中，作CN∥DE交DP的延長(zhǎng)線于N，連接BN、BD，作BM⊥PD于M，延長(zhǎng)AD、CN交于點(diǎn)G，先證明△BCN≌△BAD，推出△BDN是等腰直角三角形，再L利用勾股定理即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，由此EN交BC于F，點(diǎn)F就是所求的點(diǎn)．

理由：∵∠ADE=∠ABC=90°，
∴DE∥BC，
∴∠FCN=∠EDN，
在△NCF和△NDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FCN=∠EDN}\\{CN=ND}\\{∠CNF=∠END}\end{array}\right.$，
∴△NCF≌△NDE，
∴NF=NE．
∴點(diǎn)F與點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)N對(duì)稱．
∵AD=DE，DE=CF，
∴CF=AD，∵BC=BA，
∴BD=BF，
∵EN=NF，EM=MB，
∴MN∥AB，MN=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$BD．
∵AB⊥BD，
∴MN⊥BD，
故答案為MN=$\frac{1}{2}$BD，MN⊥BD．

（2）如圖2中，將△DBA繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCH，則HC=AD=DE，△BDH是等腰直角三角形，DH=$\sqrt{2}$BD．

∵∠BAC=∠DAE=45°，
∴∠BAD=∠CAE，
∵$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AE}{AD}$=$\sqrt{2}$，
∵△ACE∽△ABD，
∴EC=$\sqrt{2}$BD=HD，∵HC=DE
∴四邊形CHDE是平行四邊形，CD與EH互相平分，
∴點(diǎn)N是CD與EH的交點(diǎn)，
∴NE=NH，∵M(jìn)E=MB，
∴BH=2MN，
∴$\frac{MN}{BD}$=$\frac{1}{2}$．

（3）如圖3中，作CN∥DE交DP的延長(zhǎng)線于N，連接BN、BD，作BM⊥PD于M，延長(zhǎng)AD、CN交于點(diǎn)G．

∵CN∥DE，DN∥CE，
∴四邊形CNDE是平行四邊形，
∴CN=DE=AD，
∵AG⊥DE，DE∥CN，
∴AG⊥CG，
∴∠CGA=∠CBA=90°，
∴∠BCN=∠BAD，
∵BC=BA，CN=AD，
∴△BCN≌△BAD，
∴BD=BN，∠NBC=∠DBA，∠NBD=∠ABC=90°，
∴∠BDM=45°，
由（2）可知BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CE=3，
∴BM=MD=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△PBM中，PM=$\sqrt{P{B}^{2}-B{M}^{2}}$=$\sqrt{5-\frac{9}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴PD=PM+MD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=2$\sqrt{2}$．
故答案為2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何變換綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．