Question

如圖，在周長(zhǎng)為9cm的四邊形ABCD中，AC⊥BD于點(diǎn)O，且AC=BD=3cm，順次連接OA、OB、OC、OD的中點(diǎn)得四邊形A₁B₁C₁D₁，順次連接OA₁、OB₁、OC₁、OD₁的中點(diǎn)得四邊形A₂B₂C₂D₂，依此作下去…，得四邊形A_nB_nC_nD_n，則A_nB_nC_nD_n的周長(zhǎng)為　　cm，面積為　　cm²．（用含n的代數(shù)式表示）

Answer 1

   

解析試題分析：根據(jù)題意可知，每次得到的四邊形的各邊的長(zhǎng)都是上一個(gè)四邊形各邊長(zhǎng)的，因此第n個(gè)四邊形A_nB_nC_nD_n和四邊形ABCD的相似比應(yīng)該是：1，然后根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)求解即可．
解：由于A₁、B₁、C₁、D₁分別是OA、OB、OC、OD的中點(diǎn)，
因此A₁B₁=AB，B₁C₁=BC，C₁D₁=CD，A₁D₁=AD，
易證得四邊形A₁B₁C₁D₁∽四邊形ABCD，且相似比為1：2，即：1；
同理可證得四邊形A_nB_nC_nD_n與四邊形ABCD的相似比為：：1，則面積比為：：1；
∵四邊形ABCD的周長(zhǎng)為9cm，面積為AC×BD=cm²，
∴四邊形A_nB_nC_nD_n的周長(zhǎng)為cm，面積為cm²．
考點(diǎn)：相似多邊形的性質(zhì)；三角形中位線定理．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的是三角形中位線定理和相似多邊形的性質(zhì)，相似多邊形的性質(zhì)與相似三角形的性質(zhì)類似，相似多邊形對(duì)應(yīng)邊之比、周長(zhǎng)之比等于相似比，而面積之比等于相似比的平方．