Question

【題目】如圖，在矩形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)為對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，作于點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，交于點(diǎn)，連結(jié)．

（1）求證：；

（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到對(duì)角線的中點(diǎn)時(shí)，求的周長(zhǎng)；

（3）在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的過程中，是否可以為等腰三角形？若可以，求出的值；若不可以，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）可以，的值為2或或

【解析】

（1）根據(jù)三角形中位線定理即可判定；

（2）證明△BCD∽△FGE，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)的比等于對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)的比，可得△EFG的周長(zhǎng)；

（3）分EH=EG，EG=GH，EH=EG三種情況討論，根據(jù)，列方程求解即可．

（1）證明：∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，

∴，

∵，

∴是的中位線，

∴；

（2）解：∵，

∴，

∴，

當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，即，

∴，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，如圖2，

∴，

∴，

在中，，

∴，

∴的周長(zhǎng)，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

即，

∴的周長(zhǎng)為；

（3）解：在中，，，

∴，則，

∵是的中點(diǎn)，

∴，

在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，可以為等腰三角形，有以下三種情況：

①當(dāng)時(shí)，如圖3，

在中，，

∴，

∴，

∴，

由（1）知：，

∴，

在中，，

即，

解得；

②當(dāng)時(shí)，如圖4，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∴，，

∴，，

∴，

∵，

∴，

在中，，

即，

解得；

③當(dāng)時(shí)，如圖5，延長(zhǎng)交于，

∵，

∴，

∴，

在中，，

∴，

∴，

在中，，

，

∴，

綜上，的值為2或或時(shí)，為等腰三角形．