Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分線交BC于點(diǎn)E，EF⊥AB于點(diǎn)F，點(diǎn)F恰好是AB的一個(gè)三等分點(diǎn)（AF＞BF）．

（1）求證：△ACE≌△AFE；

（2）求tan∠CAE的值．

 

 

Answer 1

（1）證明見解析 （2）tan∠CAE=

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)角的平分線的性質(zhì)可求得CE=EF，然后根據(jù)直角三角形的判定定理求得三角形全等．

（2）由△ACE≌△AFE，得出AC=AF，CE=EF，設(shè)BF=m，則AC=2m，AF=2m，AB=3m，根據(jù)勾股定理可求得，tan∠B=，CE=EF=，在RT△ACE中，tan∠CAE=.

試題解析：（1）證明：∵AE是∠BAC的平分線，EC⊥AC，EF⊥AF，

∴CE=EF，

在Rt△ACE與Rt△AFE中，

，

∴Rt△ACE≌Rt△AFE；

（2）【解析】
由（1）可知△ACE≌△AFE，

∴AC=AF，CE=EF，

設(shè)BF=m，則AC=2m，AF=2m，AB=3m，

∴BC=，

∴在RT△ABC中，tan∠B=，

在RT△EFB中，EF=BF•tan∠B=，

∴CE=EF=，

在RT△ACE中，tan∠CAE=；

∴tan∠CAE=．

考點(diǎn)：1.全等三角形的判定與性質(zhì)；2.角平分線的性質(zhì)；3.勾股定理；4.銳角三角函數(shù)的定義