Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)D，已知A(-1，0)，C(0，2) .

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），過點(diǎn)E作軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo).

（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為 ；（2）當(dāng)x=2時(shí)，S有最大值為， E(2,1)；（3）P點(diǎn)坐標(biāo)為（， ）（， ）（，-4）.

【解析】（1）將A(-1，0)，C(0，2)代入拋物線解析式得 ，解得，

∴拋物線解析式為 ；

（2）由 ，可知對(duì)稱軸為直線 ，∴D(,0) ，

令y=0，則，

解得

∴B(4,0) ，

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,

將B、C點(diǎn)坐標(biāo)代入得，解得，

∴直線BC的解析式為，

設(shè)F(x,y)，EF⊥x軸于點(diǎn)H，則H（x,0），

∴梯形COHF的面積S1=，

Rt△BHF的面積S2=，

Rt△OCD的面積S3=，

∴四邊形CDBF的面積S=S1+S2-S3= ，

又∵F在拋物線上

∴將代入S得S=，

∵S是關(guān)于x的二次函數(shù)，a=-1＜0，

∴當(dāng)x=2時(shí)，S有最大值為，

此時(shí)E點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=2，

∵E點(diǎn)在直線BC上，

∴ ，∴E(2,1)；

（3）P點(diǎn)坐標(biāo)為（， ）（， ）（，-4）.