Question

18．如圖，菱形ABCD中，AB=4，∠A=60°，點E是線段AB上一點（不與A，B重合），作∠EDF交BC于點F，且∠EDF=60°，則△BEF周長的最小值是（　�。�

• A． 6
• B． 4$\sqrt{3}$
• C． 4+$\sqrt{3}$
• D． 4+2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 只要證明△DBE≌△DCF得出△DEF是等邊三角形，因為△BEF的周長=BE+BF+EF=BF+CF+EF=BC+EF=4+EF，所以等邊三角形△DEF的邊長最小時，△BEF的周長最小，只要求出△DEF的邊長最小值即可．

解答 解：連接BD，
∵菱形ABCD中，∠A=60°，
∴△ADB與△CDB是等邊三角形，
∴∠DBE=∠C=∠60°，BD=DC，
∵∠EDF=60°，
∴∠BDE=∠CDF，
在△BDE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DBE=∠C}\\{∠BDE=∠CDF}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△DCF，
∴DE=DF，∠BDE=∠CDF，BE=CF，
∴∠EDF=∠BDC=60°，
∴△DEF是等邊三角形，
∵△BEF的周長=BE+BF+EF=BF+CF+EF=BC+EF=4+EF，
∴等邊三角形△DEF的邊長最小時，△BEF的周長最小，
當DE⊥AB時，DE最小=2$\sqrt{3}$，
∴△BEF的周長最小值為4+2$\sqrt{3}$，
故選D．

點評 本題考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、最小值問題等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)解決問題，學會轉(zhuǎn)化的思想解決問題，所以中考�？碱}型．