Question

9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=-$\frac{2}{3}$x+b與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y=ax²-5ax-6a（a＜0）經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)A．
（1）求a，b的值；
（2）點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)Q在線段PC的延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)Q作y軸的平行線，交直線BC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)Q作y軸的垂線，垂足為點(diǎn)E，交對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，線段QF的長(zhǎng)為d，當(dāng)d與t之間的函數(shù)關(guān)系式d=-$\frac{2}{3}$t+4時(shí)，求D的坐標(biāo)．
（3）在（2）的條件下，連接CD，將△CQD沿直線CD翻折，得到△CQ′D，求t為何值時(shí)，點(diǎn)Q′恰好落在拋物線上，并求出此時(shí)點(diǎn)Q′的坐標(biāo)以及tan∠DCQ的值．

Answer 1

分析 （1）先求出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入y=-$\frac{2}{3}$x+b，求出b，從而求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，又將點(diǎn)C坐標(biāo)代入拋物線解析式中求出a，
（2）先確定出直線PC解析式為y=-$\frac{4}{t}$x+4，設(shè)點(diǎn)Q（m，-$\frac{4m}{t}$+4），得到F（m，-$\frac{2}{3}$m+4），而QF=$\frac{2}{3}$m-$\frac{4m}{t}$=d，進(jìn)而確定出m=-t，
得到Q（-t，8），D的縱坐標(biāo)為8，代入拋物線解析式，求出橫坐標(biāo)，即可；
（3）依次確定出直線CD解析式為y=2x+4，QQ'的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+8-$\frac{1}{2}$t，設(shè)出點(diǎn)Q'的坐標(biāo)，表示出QQ'的中點(diǎn)坐標(biāo)代入直線CD解析式中，將Q'的坐標(biāo)代入拋物線中，聯(lián)立方程組卻出n，t，構(gòu)造直角三角形求出tan∠HCP即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²-5ax-6a=a（x²-5x-6）=a（x+1）（x-6），
∴x₁=-1，x₂=6，對(duì)稱軸x=$\frac{5}{2}$，
∴A（-1，0），B（6，0），
∵直線y=-$\frac{2}{3}$x+b與x軸交于點(diǎn)B，
∴0=-$\frac{2}{3}$×6+b，
∴b=4，
∴直線y=-$\frac{2}{3}$x+4，
∴C（0，4），
∴a×（-1）×6=4，
∴a=-$\frac{2}{3}$，
（2）由（1）有a=-$\frac{2}{3}$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{2}{3}$（x+1）（x-6），
∵B（6，0），C（0，4），
∴直線BC解析式為y=-$\frac{2}{3}$x+4，
設(shè)P（t，0），
∵C（0，4），
∴直線PC解析式為y=-$\frac{4}{t}$x+4，
設(shè)點(diǎn)Q（m，-$\frac{4m}{t}$+4），
∵QF∥y軸．且在直線BC上，
∴F（m，-$\frac{2}{3}$m+4），
∴d=-$\frac{4m}{t}$+4-（-$\frac{2}{3}$m+4）=$\frac{2}{3}$m-$\frac{4m}{t}$=-$\frac{2}{3}$t+4，
∴m=-t，
∴Q（-t，8），
∵DQ⊥y軸，且點(diǎn)D在拋物線上，
∴-$\frac{2}{3}$（x+1）（x-6）=8，
∴x₁=2，x₂=3＞$\frac{5}{2}$（舍），
∴D（2，8），
（3）延長(zhǎng)DC交x軸于H，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥AC，
 由（2）有C（0，4），D（2，8），
∴直線CD解析式為y=2x+4，
∵△CQD沿直線CD翻折，得到△CQ′D，
∴設(shè)QQ'的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+b，
∵（-t，8），
∴8=$\frac{1}{2}$t+b，
∴b=8-$\frac{1}{2}$t，
∴QQ'的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+8-$\frac{1}{2}$t
設(shè)點(diǎn)Q'（n，-$\frac{1}{2}$n+8-$\frac{1}{2}$t），
∵點(diǎn)Q′恰好落在拋物線上，
∴-$\frac{2}{3}$（n+1）（n-6）=-$\frac{1}{2}$n+8-$\frac{1}{2}$t①，
∵Q'（n，-$\frac{1}{2}$n+8-$\frac{1}{2}$t），Q（-t，8），
∴QQ'的中點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{n-t}{2}$，-$\frac{1}{4}$n-$\frac{1}{4}$t+8）
∵QQ'的中點(diǎn)坐標(biāo)在直線直線CD上，
∴2×$\frac{n-t}{2}$+4=-$\frac{1}{4}$n-$\frac{1}{4}$t+8①
聯(lián)立①②解得，$\left\{\begin{array}{l}{n=2}\\{t=-2}\end{array}\right.$（∵點(diǎn)Q（2，8）和點(diǎn)D重合∴舍）或$\left\{\begin{array}{l}{n=5}\\{t=3}\end{array}\right.$，
∴P（3，0），Q'（5，4），
∵直線CD解析式為y=2x+4，
∴直線CD與x軸的交點(diǎn)H（-2，0），
∵C（0，4），
∴PH=PC=5，CH=$\sqrt{O{H}^{2}+O{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵PG⊥AC，
∴CG=$\frac{1}{2}$CH=$\sqrt{5}$，
根據(jù)勾股定理得，PG=$\sqrt{P{C}^{2}-C{G}^{2}}$=$\sqrt{25-5}$=2$\sqrt{5}$，
∴tan∠DCQ=tan∠HCP=$\frac{PG}{CG}$=$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=2，

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，折疊的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，構(gòu)造直角三角形，三角函數(shù)，解本題的關(guān)鍵是求函數(shù)解析式，構(gòu)造直角三角形是解本題的難點(diǎn)．