Question

5．如圖，BD是⊙O的直徑，點(diǎn)A、C在⊙O上，過點(diǎn)A作⊙O的切線AE交CD的延長線于點(diǎn)E，且DA平分∠BDE．
（1）求證：AE⊥CD；
（2）若⊙O的半徑為1cm，∠EAD=30°，求圖中陰影部分的面積；
（3）第（2）問中的解題過程，用到的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化的思想．

Answer 1

分析 （1）欲證明AE⊥CD，只要證明∠EAD+∠ADE=90°即可．
（2）根據(jù)S_陰=S_{四邊形AEDO}-S_扇形OAD=S_△AED+S_△AOD-S_扇形OAD計(jì)算即可．
（3）把求不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為求規(guī)則圖形面積去思考，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．

解答 （1）證明：連接OA．
∵AE是⊙O切線，
∴OA⊥AE，
∴∠OAE=90°，
∴∠EAD+∠OAD=90°，
∵∠ADO=∠ADE，OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=∠ADE，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠AED=90°，
∴AE⊥CD．
（2）解：∵∠EAD=30°，∠AED=90°，
∴∠ADE=∠ADO=∠OAD=60°，
∴∠AOD=60°，
∴S_陰=S_{四邊形AEDO}-S_扇形OAD=S_△AED+S_△AOD-S_扇形OAD=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$$•\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$-$\frac{60π•{1}^{2}}{360}$=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$-$\frac{π}{6}$．
（3）第（2）問中的解題過程，用到的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化的思想．
故答案為轉(zhuǎn)化的思想．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的性質(zhì)、扇形的面積、三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握切線的性質(zhì)，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考常考題型．