Question

如圖：設(shè)矩形ABCD的面積是36cm²，在邊AB、AD上分別取點(diǎn)E、F，使AE=3EB，DF=2AF，DE與CF的交點(diǎn)為P，則△FPD的面積是________．

Answer 1

4
分析：延長(zhǎng)DE，CB交于點(diǎn)M，構(gòu)建相似三角形△ADE∽△BME、△FPD∽△CPM，然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得AD=3MB、PC=2PF；作PN⊥AD于點(diǎn)N，構(gòu)建△DPF的高線(xiàn)和平行線(xiàn)PN∥DC，利用平行線(xiàn)截線(xiàn)段成比例求得3PN=CD，∴PN=CD，DF=AD，然后根據(jù)三角形的面積公式解答．
解答：延長(zhǎng)DE，CB交于點(diǎn)M，作PN⊥AD于點(diǎn)N．
在△ADE和△BME中，
，
∴△ADE∽△BME（AA）；
又AE=3EB（已知），
∴=（相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例）；
∵DF=2AF，
∴設(shè)MB=x，則AD=BC=3x，DF=2x；
在△FPD和△CPM中，
，
∴△FPD∽△CPM，
則=；
而PN∥CD，
則=，
∴PN=CD，DF=AD，
∴PN•DF=AD•CD=×36=8
∴三角形PDF的面積=DF×PD=×8=4；
故答案是：4．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)．解答本題的關(guān)鍵是通過(guò)作輔助線(xiàn)“延長(zhǎng)DE，CB交于點(diǎn)M”構(gòu)建相似三角形，然后由相似三角形的性質(zhì)來(lái)求所求△PFD的面積與矩形的面積之間的數(shù)量關(guān)系．