Question

【題目】如圖，已知AM∥BN，∠A＝60°，點(diǎn)P是射線AM上一動(dòng)點(diǎn)(與A不重合)，BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，分別交射線AM于點(diǎn)C、D.

(1)求∠CBD的度數(shù)；

(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠APB∶∠ADB的度數(shù)比值是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出這個(gè)比值；若變化，請(qǐng)找出變化規(guī)律；

(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使∠ACB＝∠ABD時(shí)，求∠ABC的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）不變，∠APB∶∠ADB＝2∶1.，理由見解析；（3）∠ABC＝30°

【解析】（1）由平行線的性質(zhì)可求得∠ABN，再根據(jù)角平分線的定義和整體思想可求得∠CBD；

（2）由平行線的性質(zhì)可得∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，再由角平分線的定義可求得結(jié)論；

（3）由平行線的性質(zhì)可得到∠ACB=∠CBN，結(jié)合條件可得到∠DBN=∠ABC，且∠ABC+∠DBN=60°，可求得∠ABC的度數(shù)．

解：(1)∵AM∥BN，∠A＝60°，

∴∠ABN＝180°－60°＝120°，

∴∠ABP＋∠PBN＝120°.

∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，

∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，

∴2∠CBP＋2∠DBP＝120°，

∴∠CBD＝∠CBP＋∠DBP＝60°.

(2)不變，∠APB∶∠ADB＝2∶1.理由如下，

∵AM∥BN，

∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN.

∵BD平分∠PBN，

∴∠PBN＝2∠DBN，

∴∠APB∶∠ADB＝2∶1.

(3)∵AM∥BN，

∴∠ACB＝∠CBN，

當(dāng)∠ACB＝∠ABD時(shí)，

則有∠CBN＝∠ABD，

∴∠ABC＋∠CBD＝∠CBD＋∠DBN，

∴∠ABC＝∠DBN.

由(1)可知∠ABN＝120°，∠CBD＝60°，

∴∠ABC＋∠DBN＝60°，

∴∠ABC＝30°.