Question

在矩形ABCD中，P為AB上的動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，求證：PE+PF為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)

專題：

分析：通過相似三角形：△BFP∽△DCB、△AEP∽△CDA的對(duì)應(yīng)邊成比例求得PE、PF的值，然后利用矩形的對(duì)邊相等、對(duì)角線相等的性質(zhì)進(jìn)行證明．

解答：解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AD=BC，
∵∠FBP=∠CDB，∠BFP=∠DCB=90°．
∴△BFP∽△DCB．
∴

PF

BC

=

BP

BD

，則PF=

BP•BC

BD

．
同理，證得△AEP∽△CDA，則

PE

AD

=

AP

CA

，則PE=

AP•AD

CA

．
∴PE+PF=

BP•BC

BD

+

AP•AD

CA

=

BP•BC+AP•AD

BD

=

(BP+AP)•BC

BD

=

AB•BC

BD

．
∵AB、BC為定值，則BD為定值，
∴PE+PF=

AB•BC

BD

為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查矩形的性質(zhì)，矩形具有平行四邊形的性質(zhì)，又具有自己的特性，要注意運(yùn)用矩形具備而一般平行四邊形不具備的性質(zhì)．