Question

如圖，在直角坐標系中，以AB為直徑的⊙C交x軸于A，交y軸于B，滿足OA：OB=4：3，以OC為直徑作⊙D，設⊙D的半徑為2．
（1）求⊙C的圓心坐標；
（2）過C作⊙D的切線EF交x軸于E，交y軸于F，求直線EF的解析式；
（3）拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸過C點，頂點在⊙C上，與y軸交點為B，求拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）⊙C以AB為直徑，則C為Rt△OAB中斜邊AB的中點，易知OC=4，那么AB=2OC=8；由OA、OB的比例關系，易知∠BAO的正切值，通過解直角三角形即可求得OB、OA的長，進而可求出A、B的坐標，也就能得到C點的坐標（若過C分別作OA、OB的垂線，由垂徑定理即可求得C點的坐標）；
（2）由（1）知OC是Rt△OAB斜邊AB的中線，則BC=OC=AC，可得到∠BOC=∠CBO，∠COA=∠CAO；由此可證得Rt△AOB、Rt△OCE、Rt△FCO都相似，根據OC的長和相似三角形的比例線段即可求得OE、OF的長，也就得到了E、F的坐標，進而可用待定系數法求出直線EF的解析式；
（3）拋物線的對稱軸過C點，且頂點在⊙C上，根據⊙C的半徑及C點坐標，易求得拋物線的頂點坐標，又已知了B點的坐標，即可用待定系數法求出拋物線的解析式．（注意要分兩種情況：①拋物線開口向上，②拋物線開口向下）

解答：解：（1）∵OA⊥OB，OA：OB=4：3，⊙D的半徑為2
∴⊙C過原點，OC=4，AB=8
A點坐標為（

32

5

，0）B點坐標為（0，

24

5

）
∴⊙C的圓心C的坐標為（

16

5

，

12

5

）（3分）

（2）由EF是⊙D的切線，
∴OC⊥EF
∵CO=CA=CB
∴∠COA=∠CAO，∠COB=∠CBO
∴Rt△AOB∽Rt△OCE∽Rt△FCO
∴

OE

AB

=

OC

OA

，

OF

AB

=

OC

OB

∴OE=5，OF=

20

3

∴E點坐標為（5，0），F點坐標（0，

20

3

）
∴切線EF的解析式為y=-

4

3

x+

20

3

；（7分）

（3）①當拋物線開口向下時，由題意，得
拋物線頂點坐標為（

16

5

，

12

5

+4），
可得：-

b

2a

=

16

5

，

4ac-b2

4a

=

32

5

，c=

24

5

∴a=-

5

32

，b=1，c=

24

5

，
∴y=-

5

32

x²+x+

24

5

；（10分）
②當拋物線開口向上時，
頂點坐標為（

16

5

，

12

5

-4），
可得：-

b

2a

=

16

5

，

4ac-b2

4a

=-

8

5

，c=

24

5

，
∴y=

5

8

x²-4x+

24

5

；
綜上所述，拋物線解析式為：
y=-

5

32

x²+x+

24

5

或y=

5

8

x²-4x+

24

5

．（12分）
注：其他解法參照以上評分標準評分

點評：此題綜合考查了圓周角定理、相似三角形的判定和性質、一次函數及二次函數解析式的確定等知識，綜合性強，難度較大．