Question

已知：如圖在平面直角坐標系中，直線y=-x+3分別交x軸、y軸于B、C兩點，直線y=3x+3交x軸于點A，M為第一象限內(nèi)一點，其坐標為（1，1），過點M的直線交AB于E，交BC于F．
問：△BEF能否與△ABC相似？若能，求E（m，0）的坐標，若不能，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：過點M作直線EF，當∠BEF=∠BAC時，可得出△BEF∽△BAC，設(shè)直線EF的解析式為y=kx+b（k≠0），由AC∥EF可得出k=3，再根據(jù)直線EF過點M（1，1）可得出k、b的值，進而得出其解析式，再把y=0代入求出x的值即可；當∠BEF=∠BCA時，可得△BEF∽△BCA，設(shè)△ABC中AC上的高為h，根據(jù)三角形的面積得出h的值，故可得出sin∠BCA，sin∠BEN的表達式，故可得出ME的值，再根據(jù)勾股定理得出EN²的值，進而可得出結(jié)論．

解答：解：能．
當∠BEF=∠BAC時，AC∥EF，
∵∠B是公共角，
∴△BEF∽△BAC，
設(shè)直線EF的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵直線AC的解析式為y=3x+3，AC∥EF，
∴k=3，
∵直線EF過點M（1，1），
∴k+b=1，
∴b=1-k=1-3=-2，
∴直線EF的解析式為y=3x-2，
∵當y=0時，x=

2

3

，
∴E（

2

3

，0）；
當∠BEF=∠BCA時，如圖所示，
∵∠B為公共角，
∴△BEF∽△BCA，
∵S_△ABC=

1

2

×4×3=6，
設(shè)△ABC中AC上的高為h，則h=

2S

AC

=

2×6

10

=

6 10

5

，
sin∠BCA=

h

BC

=

6 10 5

3 2

=

2 5

5

，
∵sin∠BEN=

1

ME

，
∴

1

ME

=

2 5

5

，解得ME=

5

2

，
∵EN²=ME²-MN²=

5

4

-1=

1

4

，
∴EN=

1

2

，
∴OE=

1

2

，
∴E（

1

2

，0）．
綜上所述，E點坐標為（

2

3

，0）或（

1

2

，0）．

點評：本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)等知識，難度適中．