Question

已知反比例函數(shù)的解析式為y=

1-k

x

（k≠1）．
（1）在反比例函數(shù)圖象的每一條曲線上，y隨著x的增大而增大，求k的取值范圍；
（2）在（1）的條件下點(diǎn)A為雙曲線y=

1-k

x

（x＜0）上一點(diǎn)，AB∥x軸交直線y=x于點(diǎn)B，若AB²-OA²=4，求反比例函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得到1-k＜0，然后解不等式即可；
（2）設(shè)B（t，t），雙曲線解析式為y=

m

x

，利用AB∥x軸且A點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上可得到A點(diǎn)坐標(biāo)為（

m

t

，t），然后利用勾股定理分別表示出AB²=（t-

m

t

）²，OA²=（

m

t

）²+t²，再利用AB²-OA²=4，得到方程（t-

m

t

）²-[（

m

t

）²+t²]=4，再解方程即可得到m的值，從而可確定反比例函數(shù)的解析式．

解答：解：（1）∵在雙曲線的每個(gè)分支內(nèi)，y隨著x的增大而增大，
∴1-k＜0，
∴k＞1；
（2）點(diǎn)B在直線y=x上，設(shè)B（t，t），1-k=m（m≠0），
故雙曲線解析式為y=

m

x

（m≠0），
∵AB∥x軸，
∴A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為t，
把y=t代入y=

m

x

得x=

m

t

，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（

m

t

，t），
∴AB²=（t-

m

t

）²，OA²=（

m

t

）²+t²，
∵AB²-OA²=4，
∴（t-

m

t

）²-[（

m

t

）²+t²]=4，解得：m=-2，
故1-k=-2，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

-2

x

．

點(diǎn)評(píng)：題考查了反比例函數(shù)的綜合題：反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）的圖象為雙曲線，當(dāng)k＜0，圖象發(fā)布在第二、四象限，在雙曲線的每個(gè)分支內(nèi)，y隨著x的增大而增大；掌握待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；運(yùn)用勾股定理計(jì)算線段的長(zhǎng)度．