Question

在正方形ABCD中，點(diǎn)E在線段BC上（點(diǎn)E不與點(diǎn)B、C重合），連接AE，過點(diǎn)E作AE的垂直交直線DC于F，交直線AB于G．如圖①，當(dāng)點(diǎn)E為BC邊中點(diǎn)時(shí)，易證；CF+BG=EB．當(dāng)點(diǎn)E不為BC邊中點(diǎn)時(shí)，如圖②，圖③兩種情況下，上述結(jié)論是否成立，若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段CF、BG、EB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想，不需證明．

Answer 1

分析：如圖①過點(diǎn)F作FH⊥AB于H，交AE于M，根據(jù)正方形性質(zhì)推出AB=BC，推出∠FHG=∠ABC，∠HFE=∠EAB，根據(jù)ASA證△ABE和△FHE全等即可；如圖②，與圖①證法類似證三角形全等即可；如圖③證△ABE和△FHG全等即可．

解答：解：（1）CF+BG=BE，成立
證明：如圖①，過點(diǎn)F作FH⊥AB于H，交AE于M，
∴四邊形FHBC為矩形，
∴FH=BC=AB，F(xiàn)C=HB，
∵正方形ABCD，AE⊥FG，
∴∠ABC=∠AEF=90°，
∵∠AMH=∠FME，
∴∠EAB=∠HFG，
在△ABE和△FHG中

∠EAB=∠HFG AB=FH ∠ABE=∠FHG

，
∴△ABE≌△FHG，
∴HG=BE，
CF+BG=BE．

（2）CF+BG=BE，
證明：如圖②，
過點(diǎn)F作FH⊥AB于H，交AE于M，
∴四邊形FHBC為矩形，
∴FH=BC=AB，F(xiàn)C=HB，
∵正方形ABCD，AE⊥FG，
∴∠ABC=∠AEF=90°，
∵∠AMH=∠FME，
∴∠EAB=∠HFG，
在△ABE和△FHG中

∠EAB=∠HFG AB=FH ∠ABE=∠FHG

，
∴△ABE≌△FHG，
∴HG=BE，
CF+BG=BE．

（3）如圖③的猜想是BG-CF=BE．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，解決此類問題的關(guān)鍵是正確的利用旋轉(zhuǎn)不變量，主要考查學(xué)生能否求出證△ABE和△FHG全等的三個(gè)條件，題目比較典型，難度適中．