Question

如圖，⊙O的半徑為4，B是⊙O外一點(diǎn)，連接OB，且OB=6，過點(diǎn)B作⊙O的切線BD，切點(diǎn)為D，延長BO交⊙O于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作切線BD的垂線，垂足為C．
（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）求AC的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：數(shù)形結(jié)合

分析：（1）首先連接OD，由BD是⊙O的切線，AC⊥BD，易證得OD∥AC，繼而可證得AD平分∠BAC；
（2）由OD∥AC，易證得△BOD∽△BAC，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得AC的長．

解答：（1）證明：連接OD，
∵BD是⊙O的切線，
∴OD⊥BD，
∵AC⊥BD，
∴OD∥AC，
∴∠2=∠3，
∵OA=OD，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
即AD平分∠BAC；

（2）解：∵OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC，
∴

OD

AC

=

BO

BA

，
∴

4

AC

=

6

10

，
解得：AC=

20

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．