【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC的頂點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A在第一象限,點(diǎn)C在第四象限,點(diǎn)B在x軸的正半軸上.∠OAB=90°且OA=AB,OB,OC的長(zhǎng)分別是二元一次方程組的解(OB>OC).
(1)求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)P是線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)O,B重合),過點(diǎn)P的直線l與y軸平行,直線l交邊OA或邊AB于點(diǎn)Q,交邊OC或邊BC于點(diǎn)R.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,線段QR的長(zhǎng)度為m.已知t=4時(shí),直線l恰好過點(diǎn)C.
①當(dāng)0<t<3時(shí),求m關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;
②當(dāng)m=時(shí),求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)t的值.
【答案】(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為:(6,0),點(diǎn)A的坐標(biāo)為:(3,3);(2)①m=t;②滿足條件的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)t的值為2或.
【解析】
(1)求出方程的解為,得出OB=6,OC=5,點(diǎn)B的坐標(biāo)為:(6,0),過點(diǎn)作AM⊥軸于M,則△AOB是等直角三角形,得出OM=BM=AM=OB=3,即可得出答;
(2)①過點(diǎn)C作CN⊥x軸于N,由題意得出ON=4,由勾股定理得出CN==3,得出點(diǎn)C的坐標(biāo)為:(4,-3),由待定系數(shù)法求出直線OC的解析式為:y=x,得出R(t,t),由待定系數(shù)法直線OA的解析式為:y=x,得出Q(t,t),即可得出結(jié)果;
②分三種情況:當(dāng)時(shí),m=, m=, 則t=2;
當(dāng)3≤t<14時(shí),由得定系數(shù)法出直AB的解析式為得出Q(),R)得出方程解方程即可;
當(dāng)4≤t<6時(shí),由待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為:y=x-9,得Q(t,-t+6),R(t,t-9),得出方程,解方程即可.
解:(1)方程組的解為:,
∵OB>OC,
∴OB=6,OC=5,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為:(6,0),
過點(diǎn)A作AM⊥x軸于M,如圖1所示:
∵∠OAB=90°且OA=AB,
∴△AOB是等腰直角三角形,
∴OM=BM=AM=OB=×6=3,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為:(3,3);
(2)①過點(diǎn)C作CN⊥x軸于N,如圖2所示:
∵t=4時(shí),直線l恰好過點(diǎn)C,
∴ON=4,
CN===3,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為:(4,﹣3),
設(shè)直線OC的解析式為:y=kx,
把C(4,﹣3)代入得:﹣3=4k,
∴k=﹣,
∴直線OC的解析式為:y=﹣x,
∴R(t,﹣t),
設(shè)直線OA的解析式為:y=k′x,
把A(3,3)代入得:3=3k′,
∴k′=1,
∴直線OA的解析式為:y=x,
∴Q(t,t),
∴QR=t﹣(﹣t)=t,
即:m=t;
②分三種情況:
當(dāng)0<t<3時(shí),m=t,m=,
則t=,
解得:t=2;
當(dāng)3≤t<4時(shí),設(shè)直線AB的解析式為:y=px+q,
把A(3,3)、B(6,0)代入得,
解得:,
∴直線AB的解析式為:y=﹣x+6,
∴Q(t,﹣t+6),R(t,﹣t),
∴m=﹣t+6﹣(﹣t)=﹣t+6,
∵m=,
∴﹣t+6=,
解得:t=10>6(不合題意舍去);
當(dāng)4≤t<6時(shí),設(shè)直線BC的解析式為:y=ax+b,
把B(6,0)、C(4,﹣3)代入得,
解得:,
∴直線BC的解析式為:y=x﹣9,
∴Q(t,﹣t+6),R(t, t﹣9),
∴m=﹣t+6﹣(t﹣9)=﹣t+15,
∵m=,
∴﹣t+15=,
解得:t=;
綜上所述,滿足條件的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)t的值為2或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c(c>0)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,且OB=OC=3,頂點(diǎn)為M.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)點(diǎn)P為線段BM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作x軸的垂線PQ,垂足為Q,若OQ=m,四邊形ACPQ的面積為S,求S關(guān)于m的函數(shù)解析式,并寫出m的取值范圍;
(3)探索:線段BM上是否存在點(diǎn)N,使△NMC為等腰三角形?如果存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,彈性小球從點(diǎn)P(0,3)出發(fā),沿所示方向運(yùn)動(dòng),每當(dāng)小球碰到矩形OABC的邊時(shí)反彈,反彈時(shí)反射角等于入射角,當(dāng)小球第1次碰到矩形的邊時(shí),記為點(diǎn)P1,第2次碰到矩形的邊時(shí),記為點(diǎn)P2,…第n次碰到矩形的邊時(shí),記為點(diǎn)Pn,則點(diǎn)P4的坐標(biāo)是_____;點(diǎn)P125的坐標(biāo)是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司開發(fā)了一種新產(chǎn)品,現(xiàn)要在甲地或者乙地進(jìn)行銷售,設(shè)年銷售量為x(件),其中x>0.
若在甲地銷售,每件售價(jià)y(元)與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x+100,每件成本為20元,設(shè)此時(shí)的年銷售利潤(rùn)為w甲(元)(利潤(rùn)=銷售額﹣成本).
若在乙地銷售,受各種不確定因素的影響,每件成本為a元(a為常數(shù),18≤a≤25。考蹆r(jià)為98元,銷售x(件)每年還需繳納x2元的附加費(fèi).設(shè)此時(shí)的年銷售利潤(rùn)為w乙(元)(利潤(rùn)=銷售額﹣成本﹣附加費(fèi)).
(1)當(dāng)a=18,且x=100是,w乙= 元;
(2)求w甲與x之間的函數(shù)關(guān)系式(不必寫出x的取值范圍),當(dāng)w甲=15000時(shí),若使銷售量最大,求x的值;
(3)為完成x件的年銷售任務(wù),請(qǐng)你通過分析幫助公司決策,應(yīng)選擇在甲地還是在乙地銷售才能使該公司所獲年利潤(rùn)最大.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在數(shù)軸上有三點(diǎn)A、B、C,請(qǐng)根據(jù)圖回答下列問題:
(1)若將點(diǎn)B向左平移3個(gè)單位后,則A、B、C這三個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)誰最?是多少?
(2)若將點(diǎn)A向右平移4個(gè)單位后,則A、B、C這三個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)誰最大?最大的數(shù)比最小的數(shù)大多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD的外側(cè),作等邊三角形BCE,連接AE,DE.
(1)求證:AE=DE
(2)過點(diǎn)D作DF⊥AE,垂足為F,若AB=2cm,求DF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,坡AB的坡比為1:2.4,坡長(zhǎng)AB=130米,坡AB的高為BT.在坡AB的正面有一棟建筑物CH,點(diǎn)H、A、T在同一條地平線MN上.
(1)試問坡AB的高BT為多少米?
(2)若某人在坡AB的坡腳A處和中點(diǎn)D處,觀測(cè)到建筑物頂部C處的仰角分別為60°和30°,試求建筑物的高度CH.(精確到米, ≈1.73, ≈1.41)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2016·長(zhǎng)沙中考)若拋物線L:y=ax2+x+c(a,b,c是常數(shù),abc≠0)與直線l都經(jīng)過y軸上的一點(diǎn)P,且拋物線L的頂點(diǎn)Q在直線l上,則稱此直線l與該拋物線L具有“一帶一路”關(guān)系,此時(shí),直線l叫作拋物線L的“帶線”,拋物線L叫作直線l的“路線”.
(1)若直線y=mx+1與拋物線y=x2-2x+n具有“一帶一路”關(guān)系,求m,n的值;
(2)若某“路線”L的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)y=的圖象上,它的“帶線”l的解析式為y=2x-4,求此“路線”L的解析式.
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