Question

如圖，龍麗公路某隧道橫截面為拋物線，其最大高度為9米，底部寬度OM為18米． 現(xiàn)以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，OM所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系．
（1）直接寫出點(diǎn)M及拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）求這條拋物線的解析式；
（3）若要搭建一個(gè)矩形“支撐架”AD-DC-CB，使C、D點(diǎn)在拋物線上，A、B點(diǎn)在地面OM上，則這個(gè)“支撐架”總長的最大值是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：（1）根據(jù)所建坐標(biāo)系易求M、P的坐標(biāo)；
（2）可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式，把O點(diǎn)（或M點(diǎn)）坐標(biāo)代入求待定系數(shù)求出解析式；
（3）總長由三部分組成，根據(jù)它們之間的關(guān)系可設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），用含m的式子表示三段的長，再求其和的表達(dá)式，運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)求解．

解答：解：（1）由題意可得：M（18，0），P（9，9）．

（2）設(shè)拋物線解析式為：y=a（x-9）²+9
∵拋物線y=a（x-9）²+9經(jīng)過點(diǎn)（0，0）
∴0=a（0-9）²+9，即a=-

1

9

，
∴拋物線解析式為：y=-

1

9

（x-9）²+9，即y=-

1

9

x²+2x．

（3）設(shè)A（m，0），則B（18-m，0），C（18-m，-

1

9

m²+2m），D（m，-

1

9

m²+2m）．
則“支撐架”總長AD+DC+CB=（-

1

9

m²+2m）+（18-2m）+（-

1

9

m²+2m）
=-

2

9

m²+2m+18
=-

2

9

（m-4.5）²+22.5．
∵此二次函數(shù)的圖象開口向下．
∴當(dāng)m=4.5米時(shí)，AD+DC+CB有最大值為22.5米．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，本題難度在第（3）問，要分別求出三部分的表達(dá)式再求其和．關(guān)鍵在根據(jù)圖形特點(diǎn)選取一個(gè)合適的參數(shù)表示它們，得出關(guān)系式后運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)來解．