【題目】如圖1,四邊形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,AD=CD.
(1)求證:BD平分∠ABC;
(2)如圖2,點E、F分別在AB、BC上,連接EF,M是EF的中點,過M作EF的垂線交BD于P.求證:AE+CF=PD;
(3)如圖3,在(2)條件下,連AF,若AE=CF,∠DAF=2∠AFE=2α,AF=13,BC=12,(BC>AB).求BD的長.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)17
【解析】
(1)作DG⊥BC于G,DH⊥BA于H,通過證明△DAH≌△DCG可證點D到BA和BC的距離相等;
(2)PM是中垂線,因此連接PE、PF,有PE=PF,由第(1)問可知∠ABD=∠CBD,則B、E、P、F四點共圓,推出∠EPF是直角,將△BEP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△NFP,可以得出BE+BF=BP,注意四邊形ABCD的結(jié)構(gòu)與四邊形PEBF結(jié)構(gòu)一樣,因此同理可得AB+BC=BD,進而得出所證結(jié)論.
(3)由于AE=CF,因此可以考慮CF為邊在BC上方構(gòu)造△QCF≌△FEA,連接AQ、AC.可以推出△AFQ是等腰直角三角形,同時注意△ACD也是等腰直角三角形,∠CAQ是兩個45°的重疊角,于是∠CAQ=90﹣2α,然后可推出AC=AQ,而AQ=AF=13,BC已知,由勾股定理可算出AB長度,根據(jù)第(2)問中的結(jié)論,BD長度就自然得出.
解:(1)如圖1,作DG⊥BC于G,DH⊥BA于H.
則∠DHA=∠DGC=90°.
∵∠ABC=∠ADC=90°,
∴∠BAD+∠BCD=180°,
∵∠BAD+∠DAH=180°,
∴∠DAH=∠DCG,
在△DAH和△DCG中:
,
∴△DAH≌△DCG(AAS),
∴DH=DG,
∴BD平分∠ABC.
(2)如圖2,連接PE、PF,
∵M為EF中點且PM⊥EF,
∴PE=PF,
∵∠EBP=∠FBP,
∴P、E、B、F四點共圓,
∴∠PEB+∠PFB=∠EBF+∠EPF=180°,
∴∠EBF=90°,
∴∠EPF=90°,
在FC上截取FN=BE,連接PN.
∴∠PFN+∠PFB=180°,
∴∠PFN=∠PEB,
在△PEB和△PFN中:
,
∴△PEB≌△PFN(SAS),
∴PB=PN,∠EPB=∠FPN
∴∠BPN=∠BPF+∠FPN=∠BPF+∠EPB=∠EPF=90°,
∴△BPN是等腰直角三角形,
∴BN=BP,
∵BN=BF+FN=BF+BE,
∴BE+BF=BP,
同理可證BA+BC=BD,
∴AE+BE+BF+FC=(BP+PD)=BP+PD,
∴AE+CF=PD.
(3)如圖3,作△QCF≌△FEA,連接AQ、AC.
則∠EAF=∠CFQ,AF=FQ,∠FQC=∠AFE=α,
∵∠EAF+∠AFB=90°,
∴∠CFQ+∠AFB=90°,
∴∠AFQ=90°,
∴△AFQ是等腰直角三角形,
∴AQ=AF=13,∠FAQ=∠FQA=45°,
∵AD=DC,∠ADC=90°,
∴△ADC是等腰直角三角形,
∴∠DAC=∠DCA=45°,
∴∠DAC+∠FAQ=∠DAF+∠QAC=90°,
∴∠QAC=90°﹣∠DAC=90°﹣2α,
∵∠AQC=∠AQF+∠FQC=45°+α,
∴∠ACQ=180°﹣∠QAC﹣∠AQC=45°+α,
∴AC=AQ=13,
∵BC=12,
∴AB=5,
由(2)可知AB+BC=BD,
∴BD=(AB+BC)=17.
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【題目】如圖,菱形OABC的一邊OA在x軸的負半軸上,O是坐標原點,tan∠AOC=,反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點C,與AB交于點D,若△COD的面積為16,則k的值等于_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于一次函數(shù)y=x+6,下列結(jié)論錯誤的是( )
A. 函數(shù)值隨自變量增大而增大 B. 函數(shù)圖像與軸正方向成45°角
C. 函數(shù)圖像不經(jīng)過第四象限 D. 函數(shù)圖像與軸交點坐標是(0,6)
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【題目】某文具商店銷售功能相同的兩種品牌的計算器,購買2個A品牌和3個B品牌的計算器共需156元;購買3個A品牌和1個B品牌的計算器共需122元。
(1)求這兩種品牌計算器的單價;
(2)學(xué)校開學(xué)前夕,該商店對這兩種計算器開展了促銷活動,具體辦法如下:A品牌計算器按原價的八折銷售,B品牌計算器5個以上超出部分按原價的七折銷售。設(shè)購買個x個A品牌的計算器需要y1元,購買x個B品牌的計算器需要y2元,分別求出y1、y2關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)小明準備聯(lián)系一部分同學(xué)集體購買同一品牌的計算器,若購買計算器的數(shù)量超過5個,購買哪種品牌的計算器更合算?請說明理由。
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,點D、E分別是AC、AB的中點,點F在BC的延長線上,且∠CDF=∠A.
(1)求證:四邊形DECF是平行四邊形;
(2)若∠A=30°,寫出圖中所有與FD長度相等的線段.
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【題目】“足球運球”是中考體育必考項目之一.蘭州市某學(xué)校為了解今年九年級學(xué)生足球運球的掌握情況,隨機抽取部分九年級學(xué)生足球運球的測試成績作為一個樣本,按A,B,C,D四個等級進行統(tǒng)計,制成了如下不完整的統(tǒng)計圖.(說明:A級:8分﹣10分,B級:7分﹣7.9分,C級:6分﹣6.9分,D級:1分﹣5.9分)
根據(jù)所給信息,解答以下問題:
(1)在扇形統(tǒng)計圖中,C對應(yīng)的扇形的圓心角是 度;
(2)補全條形統(tǒng)計圖;
(3)所抽取學(xué)生的足球運球測試成績的中位數(shù)會落在 等級;
(4)該校九年級有300名學(xué)生,請估計足球運球測試成績達到A級的學(xué)生有多少人?
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【題目】如圖,為測量平地上一塊不規(guī)則區(qū)域(圖中的陰影部分)的面積,畫一個對角線為AC和BD的菱形,使不規(guī)則區(qū)域落在菱形內(nèi),其中AC=8m,BD=4m,現(xiàn)向菱形內(nèi)隨機投擲小石子(假設(shè)小石子落在菱形內(nèi)每一點都是等可能的),經(jīng)過大量重復(fù)投擲試驗,發(fā)現(xiàn)小石子落在不規(guī)則區(qū)域的頻率穩(wěn)定在常數(shù)25%,由此可估計不規(guī)則區(qū)域的面積是_____m2.
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【題目】如圖,⊙O與∠α的兩邊相切,若∠α=60°,則圖中陰影部分的面積S關(guān)于⊙O的半徑r的函數(shù)圖象大致是( )
A. B.
C. D.
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【題目】如圖,要在寬為22米的大道兩邊安裝路燈,路燈的燈臂CD長2米,且與燈柱BC成120°角,路燈采用圓錐形燈罩,燈罩的軸線DO與燈臂CD垂直,當燈罩的軸線DO通過公路路面的中心線時照明效果最佳,求路燈的燈柱BC高度.
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