【題目】如圖1,四邊形ABCD中,∠ABC=∠ADC90°ADCD

1)求證:BD平分∠ABC;

2)如圖2,點E、F分別在AB、BC上,連接EF,MEF的中點,過MEF的垂線交BDP.求證:AE+CFPD;

3)如圖3,在(2)條件下,連AF,若AECF,∠DAF2AFE,AF13,BC12,(BCAB).求BD的長.

【答案】1)見解析;(2)見解析;(317

【解析】

1)作DG⊥BCG,DH⊥BAH,通過證明△DAH≌△DCG可證點DBABC的距離相等;

2PM是中垂線,因此連接PEPF,有PEPF,由第(1)問可知∠ABD∠CBD,則BE、P、F四點共圓,推出∠EPF是直角,將△BEP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°△NFP,可以得出BE+BFBP,注意四邊形ABCD的結(jié)構(gòu)與四邊形PEBF結(jié)構(gòu)一樣,因此同理可得AB+BCBD,進而得出所證結(jié)論.

3)由于AECF,因此可以考慮CF為邊在BC上方構(gòu)造△QCF≌△FEA,連接AQ、AC.可以推出△AFQ是等腰直角三角形,同時注意△ACD也是等腰直角三角形,∠CAQ是兩個45°的重疊角,于是∠CAQ90,然后可推出ACAQ,而AQAF13,BC已知,由勾股定理可算出AB長度,根據(jù)第(2)問中的結(jié)論,BD長度就自然得出.

解:(1)如圖1,作DG⊥BCG,DH⊥BAH

∠DHA∠DGC90°

∵∠ABC∠ADC90°,

∴∠BAD+∠BCD180°,

∵∠BAD+∠DAH180°

∴∠DAH∠DCG,

△DAH△DCG中:

,

∴△DAH≌△DCGAAS),

∴DHDG,

∴BD平分∠ABC

2)如圖2,連接PE、PF,

∵MEF中點且PM⊥EF

∴PEPF,

∠EBP∠FBP

∴P、E、B、F四點共圓,

∴∠PEB+∠PFB∠EBF+∠EPF180°

∴∠EBF90°,

∴∠EPF90°,

FC上截取FNBE,連接PN

∴∠PFN+∠PFB180°,

∴∠PFN∠PEB,

△PEB△PFN中:

,

∴△PEB≌△PFNSAS),

∴PBPN,∠EPB∠FPN

∴∠BPN∠BPF+∠FPN∠BPF+∠EPB∠EPF90°

∴△BPN是等腰直角三角形,

∴BNBP,

∵BNBF+FNBF+BE,

∴BE+BFBP,

同理可證BA+BCBD

∴AE+BE+BF+FC(BP+PD)BP+PD,

∴AE+CFPD

3)如圖3,作△QCF≌△FEA,連接AQ、AC

∠EAF∠CFQ,AFFQ,∠FQC∠AFEα

∵∠EAF+∠AFB90°,

∴∠CFQ+∠AFB90°,

∴∠AFQ90°,

∴△AFQ是等腰直角三角形,

∴AQAF13∠FAQ∠FQA45°,

∵ADDC∠ADC90°,

∴△ADC是等腰直角三角形,

∴∠DAC∠DCA45°,

∴∠DAC+∠FAQ∠DAF+∠QAC90°,

∴∠QAC90°∠DAC90°,

∵∠AQC∠AQF+∠FQC45°+α,

∴∠ACQ180°∠QAC∠AQC45°+α,

∴ACAQ13,

∵BC12,

∴AB5,

由(2)可知AB+BCBD

∴BD(AB+BC)17

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