Question

如圖1，已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為1，D、E、F分別是AB、BC、AC邊上的點(diǎn)（均不與點(diǎn)A、B、C重合），記△DEF的周長(zhǎng)為p．
（1）若D、E、F分別是AB、BC、AC邊上的中點(diǎn)，則p=

 

；
（2）若D、E、F分別是AB、BC、AC邊上任意點(diǎn)，則p的取值范圍是

 

．
小亮和小明對(duì)第（2）問(wèn)中的最小值進(jìn)行了討論，小亮先提出了自己的想法：將△ABC以AC邊為軸翻折一次得△AB₁C，再將△AB₁C以B₁C為軸翻折一次得△A₁B₁C，如圖2所示．則由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知，DF+FE₁+E₁D₂=p，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可得p≥DD₂．老師聽(tīng)了后說(shuō)：“你的想法很好，但DD₂的長(zhǎng)度會(huì)因點(diǎn)D的位置變化而變化，所以還得不出我們想要的結(jié)果．”小明接過(guò)老師的話(huà)說(shuō)：“那我們繼續(xù)再翻折3次就可以了”．請(qǐng)參考他們的想法，寫(xiě)出你的答案．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)即可求得答案；
（2）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)將△ABC翻折5次，再利用梯形的性質(zhì)求解即可．

解答：解：（1）∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為1，
∴AB=AC=BC=1，
∵D、E、F分別是AB、BC、AC邊上的中點(diǎn)，
∴DE=

1

2

AC=

1

2

，EF=

1

2

AB=

1

2

，DF=

1

2

BC=

1

2

，
∴△DEF的周長(zhǎng)為p=

1

2

+

1

2

+

1

2

=

3

2

；

（2）
根據(jù)題意與由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知，D₂F₂+F₂E₃+E₃D₄=p，
∵D₂與D₄分別是A₁B₁與A₂B₂的中點(diǎn)時(shí)D₂、F₂、E₃、D₄共線，
∴當(dāng)D₂與D₄分別是A₁B₁與A₂B₂的中點(diǎn)時(shí)，p最小值為：

1

2

（A₁B₂+A₂B₁）=

3

2

，
∵p＜AB+AC+BC=3，
∴p的取值范圍是：

3

2

≤p＜3．
故答案為：（1）

3

2

，（2）

3

2

≤p＜3．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形與梯形中位線的性質(zhì)，以及翻折變換的性質(zhì)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．