Question

如圖所示，已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、D在拋物線上，且AD平行x軸，交y軸于點(diǎn)F，AB的中點(diǎn)E在x軸上，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1），點(diǎn)P（a，b）在拋物線上運(yùn)動(dòng).（點(diǎn)P異于點(diǎn)O）．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）過(guò)點(diǎn)P作CB所在直線的垂線，垂足為點(diǎn)R；
①求證：PF＝PR
②是否存在點(diǎn)P，使得△PFR為等邊三角形；若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
③延長(zhǎng)PF交拋物線于另一點(diǎn)Q，過(guò)Q作BC所在直線的垂線，垂足為點(diǎn)S，試判斷△RSF的形狀．

Answer 1

（1）；（2）①過(guò)點(diǎn)P作PG⊥y軸，垂足為G，由題意可知：F（0，－1），G（0，b），R（a，1），則，，，根據(jù)點(diǎn)P（a，b）為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)可得，變形得：，在Rt△PGF中，根據(jù)勾股定理即可證得結(jié)論；②存在，（，－3），（，－3）；③直角三角形

試題分析：（1）由題意可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，－1），根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O可設(shè)拋物線的解析式為，再將點(diǎn)A（2，－1）代入即可求得結(jié)果；
（2）①過(guò)點(diǎn)P作PG⊥y軸，垂足為G，由題意可知：F（0，－1），G（0，b），R（a，1），則，，，根據(jù)點(diǎn)P（a，b）為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)可得，變形得：，在Rt△PGF中，根據(jù)勾股定理即可證得結(jié)論；
②由P（a，b），F(xiàn)（0，－1），R（a，1），根據(jù)勾股定理可表示出RF的長(zhǎng)，由①可知：PF＝PR＝1－b，則可得當(dāng)時(shí)△PFR為等邊三角形，從而可以求得結(jié)果；
③連接SF、RF，由PF＝PR；PR∥FO可得∠1＝∠2，∠1＝∠3，即得，同理可得，則，即可得到結(jié)果.
（1）由題意可得：點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，－1）
∵拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O
∴可設(shè)拋物線的解析式為：；
將點(diǎn)A（2，－1）代入可得：；解得，
∴拋物線的解析式為：；
（2）①過(guò)點(diǎn)P作PG⊥y軸，垂足為G

由題意可知：F（0，－1），G（0，b），R（a，1）
∴，，
∵點(diǎn)P（a，b）為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)
∴，變形得：
在Rt△PGF中，由勾股定理可得：
∴PF＝PR；
②存在點(diǎn)P，使得△PFR為等邊三角形；
∵P（a，b），F(xiàn)（0，－1），R（a，1）
∴
由①可知：PF＝PR＝1－b
∴當(dāng)時(shí)△PFR為等邊三角形
解得：，（不合題意，舍去）
∴當(dāng)時(shí)，有，解得：，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，－3），（，－3）；
③△RSF為直角三角形.
如圖，連接SF、RF

∵PF＝PR；PR∥FO
∴∠1＝∠2；∠1＝∠3
∴
同理可得：
∴
∴△RSF為直角三角形.
點(diǎn)評(píng)：此類問(wèn)題綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見(jiàn)，一般作為壓軸題，題目比較典型．