Question

（本題10分）如圖1，拋物線y=－x2＋2bx＋c（b＞0）與y軸交于點C，點P為拋物線頂點，分別作點P，C關于原點O的對稱點P′，C′，順次連接四點得四邊形PC P′C′．

（1）當b=c=1時，求頂點P的坐標；

（2）當b=2，四邊形PC P′C′為矩形時（如圖2），求c的值；

（3）請你探究：四邊形PCP′C′能否成為正方形？若能，求出符合條件的b，c的值；若不能，請說明理由．

 

Answer 1

（1）F（1，2）；（2）；（3）能， c=－1, b=1

【解析】

試題分析：（1）當b=c=1時，y=－x2＋2x＋1=－（x－1）2＋2

∴頂點P的坐標為（1，2）

（2）當b=2時，

∴頂點P的坐標為（2，4＋c）

當時， ∴點C的坐標為（0，c）

當四邊形PC P′C′為矩形時OP=OC

即

解得

（3）當四邊形PCP′C′能成為正方形時，PP′⊥CC′ 且OP=OC

此時點P必在軸上， ∴ ①

∵OP=OC 點C必在y軸負半軸上 ∴②

由①②得，c=0(舍去)，c=－1, b=1

考點:二次函數的綜合運用