Question

如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，且BC=12cm，AD=15cm，動(dòng)點(diǎn)Q由點(diǎn)B沿BC向點(diǎn)C移動(dòng)，1秒鐘后動(dòng)點(diǎn)P由點(diǎn)A沿AD向點(diǎn)D移動(dòng)
（1）若動(dòng)點(diǎn)P的速度比動(dòng)點(diǎn)Q的速度大1厘米/秒，且動(dòng)點(diǎn)Q到達(dá)C時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P 恰好也到達(dá)D．試求動(dòng)點(diǎn)P、Q的速度．
（2）若動(dòng)點(diǎn)P的速度為5厘米/秒，動(dòng)點(diǎn)Q的速度為3厘米/秒，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中（P與A、D不重合時(shí)），AQ與BP交于K，CP與DQ交于N
①當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Q到達(dá)BC中點(diǎn)時(shí)，過(guò)K作KM∥AD交AB于M，求KM的長(zhǎng)；（如圖2）
②在這運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，KN是否會(huì)與AD平行？若會(huì)，請(qǐng)求出此時(shí)為P點(diǎn)出發(fā)后幾秒？若不會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明理由．（如圖3）

Answer 1

分析：（1）首先設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q的速度為x厘米/秒，根據(jù)題意即可得方程：

12

x

=

15

x+1

+1，解此方程即可求得答案，注意分式方程需檢驗(yàn)；
（2）①由動(dòng)點(diǎn)Q到達(dá)BC中點(diǎn)，即可求得BQ與AP的值，又由MK∥AD∥BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可求得MK的值；
②首先設(shè)點(diǎn)P點(diǎn)出發(fā)后t秒時(shí)，KN∥AD，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理與比例的性質(zhì)，即可得方程

3(t+1)

5t

=

12-3(t+1)

15-5t

’又由此方程無(wú)解，即可證得KN不會(huì)平行于AD．

解答：解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q的速度為x厘米/秒，
根據(jù)題意得：

12

x

=

15

x+1

+1，
解得：x₁=2，x₂=-6（不合題意舍去）
經(jīng)檢驗(yàn)x=2是原方程根，
∴動(dòng)點(diǎn)Q速度為2厘米/秒，動(dòng)點(diǎn)P速度為3厘米/秒．

（2）①當(dāng)BQ=

1

2

BC=6cm時(shí)，AP=5×（6÷3-1）=5cm，
由MK∥AD∥BC，
得

BK

KP

=

BQ

AP

=

6

5

，

MK

AP

=

BK

BP

=

6

11

，
∴MK=

30

11

cm；
②設(shè)點(diǎn)P點(diǎn)出發(fā)后t秒時(shí)，KN∥AD，
∴

QK

KA

=

BQ

AP

=

3(t+1)

5t

，

QN

ND

=

CQ

DP

=

12-3(t+1)

15-5t

，
若KN∥AD，則

3(t+1)

5t

=

12-3(t+1)

15-5t

’
解得：

t+1

t

=1此方程無(wú)解，
∴KN不會(huì)平行于AD．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行線分線段成比例定理，分式方程的解法，以及比例的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意比例的性質(zhì)與比例變形，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．