Question

關(guān)于x的一元二次方程4x²+4（m-1）x+m²=0
（1）當m在什么范圍取值時，方程有兩個實數(shù)根？
（2）設(shè)方程有兩個實數(shù)根x₁，x₂，問m為何值時，x12+x22=17？
（3）若方程有兩個實數(shù)根x₁，x₂，問x₁和x₂能否同號？若能同號，請求出相應(yīng)m的取值范圍；若不能同號，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)根的判別式，求出不等式[4（m-1）]²-4×4m²≥0的解集即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x₁+x₂=-

4(m-1)

4

=1-m，x₁•x₂=

m2

4

，化成（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=17代入求出即可；
（3）根據(jù)當m≤

1

2

時，方程有兩個實數(shù)根和x₁+x₂=-

4(m-1)

4

=1-m，x₁•x₂=

m2

4

，推出1-m＞0，

m2

4

＞0，即可得出答案．

解答：解：（1）∵當△=[4（m-1）]²-4×4m²=-8m+4≥0時，方程有兩個實數(shù)根，
即m≤

1

2

，
∴當m≤

1

2

時，方程有兩個實數(shù)根；

（2）根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得：x₁+x₂=-

4(m-1)

4

=1-m，x₁•x₂=

m2

4

，
∵x₁²+x₂²=17，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=17，
∴（1-m）²-

m2

2

=17＜
解得：m₁=8，m₂=-4，
∵當m≤

1

2

時，方程有兩個實數(shù)根，
∴m=-4；

（3）∵由（1）知當m≤

1

2

時，方程有兩個實數(shù)根，由（2）知，x₁•x₂=

m2

4

，
∴

m2

4

＞0，
∴當m≠0，且m≤

1

2

時，x₁和x₂能同號，
即m的取值范圍是：m≠0，且m≤

1

2

．

點評：本題考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，注意：一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系及根與系數(shù)的關(guān)系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；
（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．
（4）若一元二次方程有實數(shù)根，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．