Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx過(guò)點(diǎn)B（1，﹣3），對(duì)稱軸是直線x=2，且拋物線與x軸的正半軸交于點(diǎn)A．

（1）求拋物線的解析式，并根據(jù)圖象直接寫出當(dāng)y≤0時(shí)，自變量x的取值范圖；

（2）在第二象限內(nèi)的拋物線上有一點(diǎn)P，當(dāng)PA⊥BA時(shí)，求△PAB的面積．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2﹣2x，自變量x的取值范圖是0≤x≤2；（2）△PAB的面積=．

【解析】（1）將函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的點(diǎn)B坐標(biāo)代入的函數(shù)的解析式中，再和對(duì)稱軸方程聯(lián)立求出待定系數(shù)a和b；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為F，設(shè)P（x，x2-2x），證明△PFA∽△AEB,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，將△PAB的面積構(gòu)造成長(zhǎng)方形去掉三個(gè)三角形的面積．

（1）由題意得，，解得，

∴拋物線的解析式為y=x2-2x，

令y=0，得x2-2x=0，解得x=0或2，

結(jié)合圖象知，A的坐標(biāo)為（2，0），

根據(jù)圖象開口向上，則y≤0時(shí)，自變量x的取值范圖是0≤x≤2；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為F，

設(shè)P（x，x2-2x）,

∵PA⊥BA

∴∠PAF+∠BAE=90°,

∵∠PAF+∠FPA=90°,

∴∠FPA=∠BAE

又∠PFA=∠AEB=90°

∴△PFA∽△AEB,

∴，即，

解得，x= ，

∴x2-2x=.

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），

∴△PAB的面積=|-2|×|(3)|-×|2|×-×|-1|×|(3)|- ×|2-1|×|0-（-3）|=．