【題目】如圖1.拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)在拋物線上,且在軸的上方,點(diǎn)的橫坐標(biāo)記為

1)求拋物線的解析式:

2)如圖2.過(guò)點(diǎn)軸的平行線交直線于點(diǎn).交軸于點(diǎn),若平分,求的值:

3)點(diǎn)在直線上.點(diǎn)軸上,且位于點(diǎn)的上方,那么在拋物線上是否存在點(diǎn),使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出菱形的面積.

【答案】1;(2;(3)存在,

【解析】

1)設(shè)拋物線的解析式為,將點(diǎn)C0,3)代入即可解答;

2)求出直線AC的解析式為,設(shè)P的橫坐標(biāo)為t,則,根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義得到,根據(jù)勾股定理列出方程即可求出t的值;

3)分兩種情況:當(dāng)CE為對(duì)角線時(shí),四邊形CPED為菱形,如圖3,則點(diǎn)P和點(diǎn)D關(guān)于y軸對(duì)稱;當(dāng)CE為菱形的邊時(shí),四邊形CEPD為菱形,如圖4,則PD∥y軸,CD=PD,分別構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題.

解:(1拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)

設(shè)拋物線的解析式為,

代入得到

拋物線的解析式為,

2)如圖2

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+p,將代入得:

,解得k=p=3,

直線的解析式為

的橫坐標(biāo)為

平分

,

,

,解得t=0(舍去)

的值為

3)設(shè)

當(dāng)CE為對(duì)角線時(shí),四邊形CPED為菱形,如圖3,則點(diǎn)P和點(diǎn)D關(guān)于y軸對(duì)稱,

點(diǎn)

代入中得:

,

解得:(舍去)

此時(shí)P-2,),

∴PD=4CE=2×-3=3

菱形的面積=;

當(dāng)CE為菱形的邊時(shí),四邊形CEPD為菱形,如圖4,則PD∥y軸,CD=PD

,

∴PD=

,

,

,解得:(舍去),

∴PD=

此時(shí)菱形的面積=

綜上所述,菱形的面積是

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