Question

16．如圖，在△ABC中，中線BE，CD相交于點O，連接DE，下列結(jié)論：
①$\frac{DE}{BC}$=$\frac{1}{2}$；②$\frac{{S}_{△DOE}}{{S}_{△COB}}$=$\frac{1}{2}$；③$\frac{AD}{AB}$=$\frac{OE}{OB}$；④$\frac{{S}_{△ODE}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{1}{3}$
其中正確的個數(shù)有（　　）

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 BE、CD是△ABC的中線，即D、E是AB和AC的中點，即DE是△ABC的中位線，則DE∥BC，△ODE∽△OCB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可判斷．

解答 解：∵BE、CD是△ABC的中線，即D、E是AB和AC的中點，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC，即$\frac{DE}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
DE∥BC，
∴△DOE∽△COB，
∴$\frac{{S}_{△DOE}}{{S}_{△COB}}$=（$\frac{DE}{BC}$）²=（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，
$\frac{OE}{OB}$=$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
故①正確，②錯誤，③正確；
設(shè)△ABC的BC邊上的高AF，則S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AF，S_△ACD=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{4}$BC•AF，
∵△ODE中，DE=$\frac{1}{2}$BC，DE邊上的高是$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$AF=$\frac{1}{6}$AF，
∴S_△ODE=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$BC×$\frac{1}{6}$AF=$\frac{1}{24}$BC•AF，
∴$\frac{{S}_{△ODE}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{\frac{1}{24}BC•AF}{\frac{1}{4}BC•AF}$=$\frac{1}{6}$，故④錯誤．
故正確的是①③．
故選B．

點評 本題考查了三角形的中位線定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，利用三角形的面積公式證明△ODE和△ADC之間的關(guān)系是關(guān)鍵．