Question

19．如圖所示，PA是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，∠PAB是切線AP與弦AB的夾角，∠C是$\widehat{AB}$所對(duì)的圓周角．
（1）當(dāng)AC是直徑時(shí)，∠C與∠BAP的大小關(guān)系如何？
（2）當(dāng)AC不是直徑時(shí)，（1）題的關(guān)系還存在嗎？試說明你的理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠CAB+∠BAP=90°，再利用直徑得出∠ACB+∠CAB=90°證明即可；
（2）連接AO并延長(zhǎng)交圓于E，連接BE，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，可以得到∠E+∠EAB=90°；再根據(jù)AB是切線可以得到∠EAB+∠1=90°，所以∠E=∠1，最后根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等就可以的得到所要的結(jié)論．

解答 解：（1）∠C=∠BAP，理由如下：
∵PA是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，
∴∠CAP=90°，
∴∠CAB+∠BAP=90°，
∵AC是直徑，
∴∠ACB+∠CAB=90°，
∴∠C=∠BAP；
（2）如圖，作直徑AE，連接EB，

∠C=∠BAP
∵AE是⊙O的直徑，
∴∠EAB+∠E=∠EBA=90°；
又∵AB是⊙O的切線，
∴∠EAB+∠1=90°，
∴∠1=∠E；
∴∠C=∠1．
∴∠C=∠BAP．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合運(yùn)用了切線的性質(zhì)、等角的余角相等以及圓周角定理的推論，熟記定理是解題的關(guān)鍵．