Question

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與y軸交于點(diǎn)C（0，8），與x軸交于A，B兩點(diǎn)，其中A（-2，0），B（6，0）．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若E是線(xiàn)段BC上一點(diǎn)，P是拋物線(xiàn)（在第一象限內(nèi)的）上一點(diǎn)，EC=EP，且點(diǎn)E關(guān)于直線(xiàn)PC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F在y軸上，求證：PE平行于y軸，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式中就可以求解；
（2）先通過(guò)B、C點(diǎn)坐標(biāo)求出線(xiàn)段BC的解析式，則可利用點(diǎn)P與點(diǎn)E的坐標(biāo)將PE的長(zhǎng)表示出來(lái)，通過(guò)作垂線(xiàn)找到EC與E點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系，利用EC=EP得到一元二次方程，從而解出點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 （1）解：∵點(diǎn)C（0，8）ZA在拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c上，
∴c=8
又∵A（-2，0），B（6，0）在拋物線(xiàn)y=ax²+bx+8上，
把（-2，0），（6，0）代入解析式得$\left\{\begin{array}{l}{0=4a-2b+8}\\{0=36a+6b+8}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$
∴拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y=$-\frac{2}{3}x$²+$\frac{8}{3}x+8$
（2）證明：∵E和F關(guān)于直線(xiàn)PC對(duì)稱(chēng)
∴∠FCP=∠ECP
∵EC=EP
∴∠EPC=∠ECP
∴∠FCP=∠EPC
∴PE∥y軸
設(shè)線(xiàn)段BC的解析式為y=kx+b，把B（6，0），C（0，8）代入得$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{b=8}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=8}\end{array}\right.$
∴線(xiàn)段BC的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+8（0≤x≤6）
設(shè)P（x，-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x+8）則E（x，-$\frac{4}{3}$x+8）
∴PE的距離為（-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x+8）-（-$\frac{4}{3}$x+8）=-$\frac{2}{3}$x²+4x                                                                        
過(guò)點(diǎn)E作EG⊥y軸于點(diǎn)，

∴GE∥OB∴$\frac{GE}{CE}=\frac{OB}{CB}=\frac{3}{5}$
∴CE=$\frac{5}{3}$EG  即CE=$\frac{5}{3}$x
由PE=EC得$-\frac{2}{3}$x²+4x=$\frac{5}{3}$x  
解得：x₁=$\frac{7}{2}$  x₂=0（舍去），
此時(shí)點(diǎn)P到x軸的距離為$\frac{55}{6}$
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{7}{2}，\frac{55}{6}$）

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考察了待定系數(shù)法求二次函數(shù)及一次函數(shù)解析式，會(huì)用拋物線(xiàn)及一次函數(shù)上的點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)表示線(xiàn)段的長(zhǎng)度是解決第二問(wèn)的關(guān)鍵．解析式中帶有分?jǐn)?shù)，對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力有一定要求．