【題目】我們定義:有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做等對角四邊形

1)已知:如圖1,四邊形ABCD等對角四邊形,∠A≠C,∠A=78°,∠B=82°,則∠C=_________,∠D=__________

2)在探究等對角四邊形性質時:

①小紅畫了一個等對角四邊形”ABCD(如圖2),其中∠ABC=ADCAB=AD,此時她發(fā)現(xiàn)CB=CD成立.請你證明此結論;

②由此小紅猜想:對于任意等對角四邊形,當一組鄰邊相等時,另一組鄰邊也相等.你認為她的猜想正確嗎?若正確,請證明;若不正確,請舉出反例(提示:舉反例可畫圖并說明)

3)已知:在等對角四邊形”ABCD中,∠DAB=60°,∠ABC=90°,AB=,AD=,求對角線AC的長.

【答案】1118°,82°;(2)①見解析,小紅的猜想不正確,反例見解析;(3AC的長為

【解析】

1)根據(jù)四邊形ABCD等對角四邊形得出∠D=B=82°,根據(jù)多邊形內角和定理求出∠C即可;
2)①連接BD,根據(jù)等邊對等角得出∠ABD=ADB,求出∠CBD=CDB,根據(jù)等腰三角形的判定得出即可;
②不正確.舉一個使其結論不成立的反例即可.

3)分兩種情況討論:當∠ADC=ABC=90°時,延長AD,BC相交于點E,利用勾股定理求解;當∠BCD=DAB=60°時,過點DDEAB于點E,DFBC于點F,求出線段利用勾股定理求解.

1)∵四邊形ABCD等對角四邊形,∠A≠C,∠B=82°

∴∠D=B=82°

∴∠C=360°-A-B-D=118°

故答案為:118°,82°

2)①如圖,連接BD,

AB=AD

∴∠ABD=ADB,

∵∠ABC=ADC,

∴∠ABC﹣∠ABD=ADC﹣∠ADB,

∴∠CBD=CDB,

CB=CD;

②小紅的猜想不正確,如圖:

四邊形ABCD等對角四邊形A=C=90°AB=AD,但,

所以小紅的猜想不正確;

3)分兩種情況:

①當∠ADC=ABC=90°時,延長AD,BC相交于點E,如圖:

∵∠ABC=90°,∠DAB=60°AB=,

∴∠E=30°,

AE=2AB=

DE=AEAD=,

∵∠EDC=90°,∠E=30°,

CD=6,

AC==;

②當∠BCD=DAB=60°時,

過點DDMAB于點M,DNBC于點N,如圖:

則∠AMD=90°,四邊形BNDM是矩形,

∵∠DAB=60°

∴∠ADM=30°,

AM=AD=,

DM=6

BM=ABAM=,

∵四邊形BNDM是矩形,

DN=BM=BN=DM=6,

∵∠BCD=60°,

CN=3

BC=CN+BN=9,

AC=;

綜上所述:AC的長為

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社區(qū)

甲型垃圾桶

乙型垃圾桶

總價

A

10

8

3320

B

5

9

2860

C

a

b

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